Ядерная спектроскопия изотопов молибдена

This   is   our   small   matrix: $\begin{smallmatrix} \alpha& \beta^{*}\\ \gamma^{*}& \delta \end{smallmatrix}$ we  can  use  it  inline  !

[h]0.47 a)

{ }

[h]0.47
b)

[h]0.47 c)

{ }

[h]0.47 d)

Correlation signal peaks: a) numerical experiment, b) registered correlation signals, c) intensity distribution of correlation signals in numerical experiment, d) correlation signals intensity distribution for DCRAW processed data.

Возможность $\mathrm{P}{({\cdot})}{\,:}$ ${\cal P}(\Omega)\to{\cal L}$, где $\Omega=\{\omega_{1},\omega_{2},\ldots\}$, определим (эвристически, см. определения 4.1) в терминах ее численных значений

Согласно () $\forall\,A,B \in \mathcal{P}(\Omega)$: $A\subset B\Rightarrow \mathrm{P}(A)\leqslant \mathrm{P}(B)$, $\rP(A\cup B) = \rP(A) \plus \rP(B) $, $\rP(A\cap B) \leqslant \rP(A) \btimess \rP(B)$, $\forall\,\mathrm{P}(\dot){\,:}$ ${\cal P}(\Omega)\to{\cal L}$ либо $\mathrm{P}(A)>\mathrm{P}(B)$, либо $\mathrm{P}(A)<\mathrm{P}(B)$, либо $\mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(B)$.

Поскольку возможности противоположных событий связывает равенство $\P(\Omega)=\P(A\cup(\Omega\setminus A))=\P(A)\plus\P(\Omega\setminus A)=1$, вообще говоря, не определяющее $\mathrm{P}(\Omega\setminus A)$ при заданном $\mathrm{P}(A)$, $A\in{\cal P}(\Omega)$, охарактеризуем каждое событие значениями двух мер --- возможности $\P({\cdot}){\,:}$ ${\cal P}(\Omega)\to \calL$ и необходимости $\Noss({\cdot}){\,:}$ ${\cal P}(\Omega)\to \widehat{\calL}$, принимающей значения в шкале $\widehat{\calL}=(\widehat{[}\,\widehat{0},\widehat{1}\,\widehat{]},\widehat{\leqslant},\widehat{\plus},\widehat{\btimess})$, в которой $a\,\widehat{\leqslant}\,b\Longleftrightarrow a\geqslant b$, $\widehat{0}=1$, $\widehat{1}=0$, $\widehat{0}\,\widehat{\leqslant}\,\widehat{1}$, $\widehat{[}\,\widehat{0},\widehat{1}\,\widehat{]}=[0,1]$, $a\widehat{\mbox{$$}}b\stackrel{\text{def}}{=}\min\{a,b\}$, $a\widehat{\btimess}b\stackrel{\text{def}}{=}$ $\stackrel{\text{def}}{=}\max\{a,b\}$, $a,b\in\widehat{[}\,\widehat{0},\widehat{1}\,\widehat{]}$, и подобно () $\forall\,\gamma{({\cdot})}\in\Gamma\;$ $\forall\,a,b\in\widehat{[}\,\widehat{0},\widehat{1}\,\widehat{]}$

поскольку $\overline{\Gamma}$ --- группа автоморфизмов и шкалы $\widehat{\cal L}$, $\widehat{\gamma}{\,:}$ $\widehat{\cal L}\to\widehat{\cal L}$, $\widehat{\gamma}\in\overline{\Gamma}$.

Определим согласованную с упорядоченностью в feq:ineqdefo:4 упорядоченность

характеризующую событие $A=\bigcap\limits_{i{\,:}\:\omega_{i}\in\Omega\setminus A}\bigl\{\Omega\setminus\{\omega_{i}\}\bigr\}$ как противоположное ${\Omega\setminus A}$.

Класс необходимостей, удовлетворяющих (), обозначим $\mathbb{N}$. Конкретную упорядоченность в () зададим $\widehat{e}=0{,}\widehat{e}_{1}\widehat{e}_{2}\ldots\in(0,1)$, $\widehat{e}_{i}=1$, если $n_{i}<n_{i+1}$, $\widehat{e}_{i}=0$, если $n_{i}=n_{i+1}$, $i=1,2,\ldots$ Обозначим $\mathbb{N}_{(\widehat{e})}$ класс взаимно эквивалентных необходимостей, упорядоченность значений $n_{i}$, $i=1,2,\ldots,$ которых определена числом $\widehat{e}$. При этом подобно () $\mathbb{N}=\!\!\bigcup\limits_{\widehat{e}\in(0,1)}\!\!\mathbb{N}_{(\widehat{e})},$ где $\mathbb{N}_{(\widehat{e})}\cap \mathbb{N}_{(\widehat{e}')}=\varnothing$, $\widehat{e}\ne\widehat{e}'$, $\widehat{e},\widehat{e}'\in(0,1)$.

Каждый автоморфизм $\gamma{\,:}$ ${\cal L}\to{\cal L}$, $\widehat{\gamma}{\,:}$ $\widehat{\cal L}\to\widehat{\cal L}$, $\gamma,\widehat{\gamma}\in\overline{\Gamma}$, определяет изоморфизм $\gamma{\,:}$ ${\cal L}\to\gamma{\cal L}$, $\widehat{\gamma}{\,:}$ $\widehat{\cal L}\to\widehat{\gamma}\widehat{\cal L}$, где $\gamma{\cal L}$ и $\widehat{\gamma}\widehat{\cal L}$, суть шкалы, изоморфные соответственно ${\cal L}$ и $\widehat{\cal L}$, элементы которых суть $\gamma(a)$ и $\widehat{\gamma}(a)$, $a\in[0,1]$, а операции $\plus$, $\btimess$ в $\gamma{\cal L}$ и $\widehat{\plus}$, $\widehat{\btimess}$ в $\widehat{\gamma}\widehat{\cal L}$ определены равенствами () и (). Назовем шкалы $\gamma{\cal L}$ и $\widehat{\gamma}\widehat{\cal L}$ координатными представлениями a,\widehat{a}\in[0,1]${\cal L}$\widehat{\cal L}$ \gamma(a),\gamma(\widehat{a})\in[0,1]$ \gamma{\cal L}$\gamma\widehat{\cal L}$ шкал ${\cal L}$ и $\widehat{\cal L}$, $\gamma,\widehat{\gamma}\in\overline{\overline{\Gamma}}$, где $\overline{\overline{\Gamma}}$ далее обозначает группу изоморфизмов.

$\bulletet$ Поскольку все шкалы $\gamma{\cal L}$, $\gamma\in\overline{\overline{\Gamma}}$, и все шкалы $\widehat{\gamma}\widehat{\cal L}$, $\widehat{\gamma}\in\overline{\overline{\Gamma}}$, взаимно изоморфны, то  любой исследователь может выбрать любую пару шкал $\gamma{\cal L}$ и $\widehat{\gamma}\widehat{\cal L}$, $\gamma,\widehat{\gamma}\in \overline{\overline{\Gamma}}$, для формулировки нечеткой модели. Сформулированные в парах шкал ${\cal L}'\!$, $\widehat{\cal L}'$ и ${\cal L}''\!$, $\widehat{\cal L}''$

$\bulletet$ модели считаются эквивалентными, если существует пара шкал ${\cal L}=\gamma'{\cal L}'=\gamma''{\cal L}''\!$, $\widehat{\cal L}=\widehat{\gamma}'\widehat{\cal L}'=\widehat{\gamma}''\widehat{\cal L}''\!$, $\gamma'\!,\gamma''\!,\widehat{\gamma}'\!,\widehat{\gamma}''\in\overline{\overline{\Gamma}}$, в которых их формулировки совпадают.

$\bulletet$  Модели, формулировки которых не зависят от выбора шкал $\gamma{\cal L}$ и $\widehat{\gamma}\widehat{\cal L}$, т. е. одинаковы для всех исследователей, могут быть содержательно истолкованы.

Этот аспект теории возможностей, аналогичный принципу относительности в физике, определил содержательную интерпретацию возможности и необходимости, математические методы и алгоритмы их эмпирического восстановления, математический формализм теории и области ее приложений [poss2].

mathrm{P}$\mathrm{N}$\mathrm{Pr}$

Для $\Omega=\{\omega_{1},\omega_{2},\ldots\}$ согласно упорядоченностям (), () и формулам () и ():

$\bull$$\forall\,A_{1}\in{\cal P}(\Omega)$, если $\omega_{1}\in A_{1}$, то $\mathrm{P}(A_{1})=\mathrm{p}_{1}=1$, $\mathrm{Pr}(A_{1})\in\Delta_{1}=[\mathrm{pr}_{1},1]$, где $\Delta_{1}$ --- минимальный (по включению) интервал, содержащий значение $\mathrm{Pr}(A_{1})$;

$\bull$$\forall\,A_{2}\in{\cal P}(\Omega)$, если $\omega_{2}\in A_{2}$, $\omega_{1}\not \in A_{2}$, то $\mathrm{P}(A_{2})=\mathrm{p}_{2}$, $\mathrm{Pr}(A_{2})\in\Delta_{2}=[\mathrm{pr}_{2},1-\mathrm{pr}_{1}]$, где $\Delta_{2}$ --- минимальный интервал, содержащий значение $\mathrm{Pr}(A_{2})$;

$\bull$$\forall\,A_{i}\in{\cal P}(\Omega)$, если $\omega_{i}\in A_{i}$, $\omega_{i-1}\not \in A_{i}$, $\ldots,$ $\omega_{1}\not \in A_{i}$, то $\mathrm{P}(A_{i})=\mathrm{p}_{i}$, $\mathrm{Pr}(A_{i})\in\Delta_{i}=[\mathrm{pr}_{i},1-\mathrm{pr}_{1}-\ldots-\mathrm{pr}_{i-1}]$, где $\Delta_{i}$ --- минимальный интервал, содержащий $\mathrm{Pr}(A_{i})$, $i=3,4,\ldots~.$

Следовательно, $\exists\,\breve{\gamma}(\dot)\in\breve{\Gamma}(\mathrm{Pr})\subset\breve{\Gamma}$ $\forall\,A\in{\cal P}(\Omega)$ $\mathrm{P}(A)=\breve{\gamma}(\mathrm{Pr}(A))$, где $\breve{\Gamma}$ --- класс монотонных функций $\breve{\gamma}(\dot){\,:}$ $[0,1]\to[0,1]$, $\breve{\gamma}(0)=0$, $\breve{\gamma}(1)=1$, а функция ${\breve{\gamma}}{({\cdot})}$, определяющая согласованность $\mathrm{P}$ с $\mathrm{Pr}$, удовлетворяет условиям: ${\breve{\gamma}}(a)=\mathrm{p}_{i}$, $a\in\Delta_{i}$, $i=1,2,\ldots~.$

По такой же схеме определяется и  необходимость $\mathrm{N}$, максимально согласованная с вероятностью $\mathrm{Pr}$, $\mathrm{Pr}\thickapprox>\mathrm{N}$, причем $\mathrm{P}$ и $\mathrm{N}$, максимально согласованные с $\mathrm{Pr}$, дуально согласованы, см. замечание .

tPytI.91 Взаимно однозначные соответствия: а --- между значениями $\mathrm{P}$ (${p_1=1,}$ ${p_2=1-\mathrm{pr}_1,}$ ${p_3=1}-{\mathrm{pr}_1-\mathrm{pr}_2,}$ ${p_4=\mathrm{pr}_4}$) и минимальными интервалами, содержащими значения $\mathrm{Pr}$ в п. 2.1. Штриховые линии, соединяющие области постоянных значений возможности, дополняют их до графика функции $\gamma^{}_{e}$; б --- между значениями $\mathrm{N}$ (${n_1=0,}$ ${n_2=\mathrm{pr}_1,}$ ${n_3=\mathrm{pr}_1+\mathrm{pr}_2,}$ ${n_4=1-\mathrm{pr}_4}$) и минимальными интервалами, содержащими начения $\mathrm{Pr}$, для ${\theta(a)=1-a}$, ${a\in[0,1)}$; $\mathrm{pr}_{i}=q/({1+q})^{i}$, ${i=1,2,3,}$ $\mathrm{pr}_{4}=1/({1+q})^{3}$, ${q=3/2}$

Доказательство следует непосредственно из определения 2.1 (см. рисунок).

Следующий пример свидетельствует, что возможность, даже максимально согласованная с вероятностью, передает лишь значительные изменения вероятностей: если $\mathrm{pr}^{}_{i}=q/(1+q)^{i}$, $i=1,2,\ldots,$ то $\forall\,i=1,2,\ldots,$ согласно (), либо $f^{}_{i}\leqslant 1$ и $e^{}_{i}=0$, если $0<q\leqslant 1$, либо $f^{}_{i}> 1$ и $e^{}_{i}=1$, если $q>1$, т. е. возможность не <<реагирует>> на <<недостаточно быстрое>> убывание вероятностей элементарных событий.

Пусть в стохастической модели $(\Omega,{\cal P}(\Omega),\mathrm{Pr}_{1})\times\ldots\times(\Omega,{\cal P}(\Omega),\mathrm{Pr}_{n})$ последовательности $n$ взаимно независимых испытаний вероятность может произвольно изменяться от испытания к испытанию, причем среди $\mathrm{Pr}_{1},\mathrm{Pr}_{2},\ldots$ конечное число $k$ различных вероятностей, скажем, $\mathrm{Pr}^{1}\in\mathbb{P}\mathrm{r},\ldots,\mathrm{Pr}^{k}\in\mathbb{P}\mathrm{r}$, тогда в $\;2\hspace{-3.6mm}\mbox{\large$$}$

где $n_{s}/n$ --- частота, с которой вероятность $\mathrm{Pr}^{s}$ встречается в последовательности $\mathrm{Pr}_{1},\ldots,\mathrm{Pr}_{n}$, $s=1,\ldots,k$, $n_{1}/n+\ldots+n_{k}/n=1$. Если в () с увеличением $n$ частты $n_{s}/n$, $s=1,\ldots,k$, изменяются произвольно, то значение $\mathrm{Pr}^{(n)}(A)$ произвольно <<блуждает>> в пределах интервала $[\min\limits_{1\leqslant s\leqslant k}\mathrm{Pr}^{s}(A), \max\limits_{1\leqslant s\leqslant k}\mathrm{Pr}^{s}(A)]$и за ним при $n\to\infty$ согласно УЗБЧ $\mbox{$$\bigcirc$$}\;$ все более точно следует частота $\nu^{(n)}(A)$. В этом случае знание вероятностей $\mathrm{Pr}^{1}(A),\ldots,\mathrm{Pr}^{k}(A)$ не позволяет оценить частоту $\nu^{(n)}(A)$, а наблюдение за $\nu^{(n)}(A)$, $n=1,2,\ldots,$ не позволяет восстановить стохастическую модель испытаний.

\mathrm{Pr}^{1}\mbox{-},\ \ldots,\ \mathrm{Pr}^{k}$

Если $\mathrm{Pr}^{1},\ldots,\mathrm{Pr}^{k}$ взаимно нечетко эквивалентны, т. е. если $\exists\,e\in(0,1)$: $\Pr^{1},\ldots, \Pr^{k}\in \mathbb{P}\mathrm{r}_{(e)}$, то $\forall\,\P \in\mathbb{P}_{(e)}$и $\forall\,\mathrm{N}\in\mathbb{N}_{(e)}$, которые называются $\mathrm{Pr}^{1}$-, ${\ldots,}$ $\mathrm{Pr}^{k}$- измеримыми, можно дать событийно интерпретацию, согласно которой $\exists\,N$: $\forall\,n>N$ $\P(A)>\P(B)\Leftrightarrow \N(A)>\N(B)\Rightarrow \nu^{(n)}(A)\stackrel{\text{\rm \scriptsize п.\,н.}}{>}\nu^{(n)}(B)$.

Покажем, что при условии регулярности вероятностей $\mathrm{Pr}^{1},\ldots, \mathrm{Pr}^{k}$ может быть восстановлена нечеткая модель $(\Omega,{\cal P}(\Omega),\mathrm{P},\mathrm{N})$, $\mathrm{Pr}_{}^{s}\approx>\mathrm{P}$, $\mathrm{Pr}_{}^{s}\approx>\mathrm{N}$, $s=1,\ldots,k$, каждого испытания, причем безошибочно и на основе конечного числа испытаний.

В следующей теореме дан алгоритм восстановления нечеткой модели испытаний.

pnPN

Обозначим ${\cal L}(X)$, $\widehat{\cal L}(X)$ классы функций $g{({\cdot})}{\,:}$ $X\to{\cal L}$, $\widehat{g}{({\cdot})}{\,:}$ $X\to\widehat{\cal L}$ с бинарными операциями $(g_{1}*g_{2})(x)\stackrel{\text{def}}{=}g_{1}(x)* g_{2}(x)$, ${x\in X}$, $(\widehat{g}_{1}\,\widehat{*}\,\widehat{g}_{2})(x)\stackrel{\text{def}}{=}\widehat{g}_{1}(x)\,\widehat{*}\,\widehat{g}_{2}(x)$, ${x\in X}$, где $*$ и $\widehat{*}$ --- любые из операций $\plus$, $\btimess$ и $\widehat{\plus}$, $\widehat{\btimess}$. Далее ${\cal L}(X)$ и $\widehat{\cal L}(X)$ суть классы всех функций $X\to[0,1]$ с операциями $\plus$, $\btimess$ и $\widehat{\plus}$, $\widehat{\btimess}$ и отношениями $\leqslant$ и $\widehat{\leqslant}$, $X$ --- произвольное множество, ${\cal P}(X)$ --- класс всех его подмножеств.

Определим меры $\mathrm{P}{({\cdot})}{\,:}$ ${\cal P}(X)\to{\cal L}$ и $\mathrm{N}{({\cdot})}{\,:}$ ${\cal P}(X)\to\widehat{\cal L}$ равенствами: $\forall\,E\in{\cal P}(X)$ $\mathrm{P}(E)\stackrel{\text{def}}{=}\mathrm{p}(\chi^{}_{E}{({\cdot})})$ и $\mathrm{N}(E)\stackrel{\text{def}}{=}\mathrm{n}(\widehat{\chi}^{}_{E}{({\cdot})})$, где $ \chi^{}_{E}(x)=1$, $x\in E$, $\chi^{}_{E}(x)=0$, $x\not\in E,$ ${x\in X}$, $\widehat{\chi}^{}_{E}(\dot)=\theta\circ\chi^{}_{X\setminus E}(\dot)=\chi^{}_{E}{({\cdot})}$, ${\theta{({\cdot})}\in\Theta}$.

pn

Обозначим: $\mathrm{p}^{}_{A}(g^{}_{\cdot})=\mathop{\plus}\limits_{i{\,:}\:\omega^{}_{i}\in A}(\mathrm{p}^{}_{i}\btimess g^{}_{i}) = \mathop{\plus}\limits_{i{\,:}\:\omega^{}_{i}\in\Omega}(\mathrm{p}^{}_{i}\btimess$$\btimess g^{}_{i}\btimess\chi^{}_{A,i})$ $\mathrm{p}$ по множеству $A\subset\Omega=\{\omega^{}_{1},\omega^{}_{2},\ldots\}$, где $\mathrm{p}^{}_{i}=\mathrm{P}(\{\omega^{}_{i}\})$, $g^{}_{i}=g(\omega^{}_{i})$, $\chi^{}_{A,i}=1$, $\omega^{}_{i}\in A$, $\chi^{}_{A,i}=0$, $\omega^{}_{i}\in \Omega\setminus A$, $\omega^{}_{i}\in\Omega$; $\mathsf{E}^{}_{A}(f^{}_{\cdot})=\sum\limits_{i{\,:}\:\omega^{}_{i}\in A}{\mathrm{pr}^{}_{i}\cdot f^{}_{i}} = \sum\limits_{i{\,:}\:\omega^{}_{i}\in\Omega}{\mathrm{pr}^{}_{i}\cdot f^{}_{i}\cdot\chi^{}_{A,i}}$ --- математическое ожидание на множестве $A\in\Omega$ случайной величины $f(\dot){\,:}$ $\Omega\to[0,\infty)$, где $f^{}_{i}=f(\omega^{}_{i})$, $\mathrm{pr}^{}_{i}=\mathrm{Pr}(\{\omega^{}_{i}\})$, $\omega^{}_{i}\in\Omega$. Пусть $u^{}_{i}=\mathrm{p}^{}_{i}\btimess g^{}_{i}$, $v^{}_{i}={\mathrm{pr}^{}_{i}\,{\cdot}\, f^{}_{i}}$, $i=1,2,\ldots,$ и подобно (), () $1=u^{}_{1}\geqslant u^{}_{2}\geqslant\ldots\geqslant 0,$$v\geqslant v^{}_{1}\geqslant v^{}_{2}\geqslant\ldots\geqslant 0,$ $v=\sum\limits_{i=1}^{\infty}v^{}_{i}<\infty$, $\textbf{p}$ --- класс $\mathrm{p}$ $\mathrm{p}^{}_{A}(\dot)$, $A\subset\Omega$, $\boldsymbol{\mathsf{E}}$ --- класс математических ожиданий $\mathsf{E}^{}_{A}(\dot)$, $A\subset\Omega$, $e= 0{,}e^{}_{1}e^{}_{2}\ldots\in (0,1)$ --- двоичное число, определяющее конкретную упорядоченность: $e^{}_{i}=1$, если $u^{}_{i}>u^{}_{i+1}$, $e^{}_{i}=0$, если $u^{}_{i}=u^{}_{i+1}$, $i=1,2,\ldots,$ $\textbf{p}^{}_{(e)}$ --- класс взаимно эквивалентных $\mathrm{p}$- интегралов (см. замечание ), $\textbf{p}=\bigcup\limits_{e\in(0,1)}\textbf{p}^{}_{(e)}$, $\textbf{p}^{}_{(e)}\cap\textbf{p}^{}_{(e')}=\varnothing$, ${e\ne e'}$. Определим классы ${\cal P}^{}_{i}(\Omega)\subset {\cal P}(\Omega)$, $i=1,2,\ldots,$ подмножеств ${\cal P}(\Omega)$: ${\cal P}^{}_{1}(\Omega)=\{A\in{\cal P}(\Omega),\,\omega^{}_{1}\in A\}$, $\forall \, A\in {\cal P}^{}_{1}(\Omega)$ $\mathrm{p}^{}_{A}(g^{}_{\cdot})=u^{}_{1}=1$, $\mathsf{E}^{}_{A}(f^{}_{\cdot})\in[v^{}_{1},v]=\Delta^{}_{1}$, где $\Delta^{}_{1}$ --- минимальный по включению интервал, содержащий $\mathsf{E}^{}_{A}(f^{}_{\cdot})$, ${\cal P}^{}_{2}(\Omega)=\{A\in{\cal P}(\Omega),\,\omega^{}_{1}\not \in A,\,\omega^{}_{2}\in A\}$, $\forall \, A\in {\cal P}^{}_{2}(\Omega)$$\mathrm{p}^{}_{A}(g^{}_{\cdot})=u^{}_{2}$, $\mathsf{E}^{}_{A}(f^{}_{\cdot})\in[v^{}_{2},v-v^{}_{1}]=\Delta^{}_{2}$, где $\Delta^{}_{2}$ --- минимальный по включению интервал, содержащий $\mathsf{E}^{}_{A}(f^{}_{\cdot})$, $\ldots,$ ${\cal P}^{}_{i}(\Omega)=\{A\in{\cal P}(\Omega),\,\omega^{}_{1}\not \in A,\ldots,\omega^{}_{i-1}\not \in A,\omega^{}_{i}\in A\}$, $\forall \, A\in {\cal P}^{}_{i}(\Omega)$ $\mathrm{p}^{}_{A}(g^{}_{\cdot})=u^{}_{i}$, $\mathsf{E}^{}_{A}(f^{}_{\cdot})\in[v^{}_{i},v-(v^{}_{1}+\ldots+v^{}_{i-1})]=\Delta^{}_{i}$, где $\Delta^{}_{i}$ --- минимальный интервал, содержащий значения $\mathsf{E}^{}_{A}(f^{}_{\cdot})$, $i=3,4,\ldots;$ очевидно, что ${\cal P}(\Omega)={\cal P}^{}_{1}(\Omega)\cup{\cal P}^{}_{2}(\Omega)\cup\ldots\cup{\cal P}^{}_{i}(\Omega)\cup\ldots,$ ${\cal P}^{}_{i}(\Omega)\cap{\cal P}^{}_{j}(\Omega)=\varnothing$, $i\ne j$.

Определим функцию $\gamma^{}_{e}(\dot){\,:}$ $[0,v]\to[0,1]$, непрерывную на $(0,v]$, $\gamma^{}_{e}(0)=0$, $\gamma^{}_{e}(v)=1$, монотонную, удовлетворяющую условиям: $\gamma^{}_{e}(a)=u^{}_{i}$, $a\in \Delta^{}_{i}$, $i=1,2,\ldots,$ причем так, чтобы

В частности, если $A=\{\omega^{}_{i}\}$, то, согласно (), $\mathrm{p}^{}_{i}\btimess g^{}_{i}=\gamma^{}_{e}(\mathrm{pr}^{}_{i}\cdot f^{}_{i})$ и $\mathop{\plus}\limits_{i{\,:}\:\omega^{}_{i}\in A}(\gamma^{}_{e}({\mathrm{pr}^{}_{i}\cdot f^{}_{i}})) = \gamma^{}_{e}(\sum\limits_{i{\,:}\:\omega^{}_{i}\in A}{\mathrm{pr}^{}_{i}\cdot f^{}_{i}})$, а как следствие получим равенства (): если $g(\omega^{}_{i})=f(\omega^{}_{i})=\chi^{}_{A,i}$, $i=1,2,\ldots,$ --- индикатор $A=\{\omega^{}_{i^{}_{1}},$ $\omega^{}_{i^{}_{2}},\ldots\}$, $u^{}_{i^{}_{1}}\geqslant u^{}_{i^{}_{2}}\geqslant{\ldots,}$ $v^{}_{i^{}_{1}}\geqslant v^{}_{i^{}_{2}}\geqslant{\dots,}$ $u^{}_{i^{}_{1}}=\mathrm{p}^{}_{i^{}_{1}}$, $u^{}_{i^{}_{2}}=\mathrm{p}^{}_{i^{}_{2}},\dots,v^{}_{i^{}_{1}}=\mathrm{pr}^{}_{i^{}_{1}}$, $v^{}_{i^{}_{2}}=\mathrm{pr}^{}_{i^{}_{2}},{\dots,}$ то, согласно (), $\mathrm{p}^{}_{A}(g^{}_{\cdot})=\mathrm{P}(A)$, $\mathsf{E}^{}_{A}(f^{}_{\cdot})=\mathrm{Pr}(A)$, $\mathrm{P}(A)=\gamma^{}_{e}(\mathrm{Pr}(A))$, ${A\subset\Omega}$.

Обозначим $\mathrm{n}^{}_{A}(\widehat{g}^{}_{\cdot}) = \mathop{\plus}\limits_{i{\,:}\:\omega^{}_{i}\in\Omega}(\widehat{\mathrm{p}}^{}_{i}\,\widehat{\btimess}\,\widehat{g}^{}_{i}\,\widehat{\btimess}\,\widehat{\chi}^{}_{A,i}) = \mathop{\widehat{\plus}}\limits_{i{\,:}\:\omega^{}_{i}\in\Omega\setminus A}(\widehat{p}^{}_{i}\,\widehat{\btimess}\,\widehat{g}^{}_{i})$ $\mathrm{n}$ по $A$, где $\mathrm{\widehat{p}}^{}_{i}=\mathrm{n}^{}_{i}=\theta(\mathrm{p}^{}_{i})$, $\widehat{g}^{}_{i}=\theta(g^{}_{i})$ (см. замечание ), $\widehat{\chi}^{}_{A,i}=\chi^{}_{A,i}$. Так как $\mathrm{n}^{}_{A}(\widehat{g}^{}_{\cdot})=\mathop{\widehat{\plus}}\limits_{i{\,:}\:\omega^{}_{i}\in\Omega\setminus A}\widehat{u}^{}_{i} = \theta\Bigl(\mathop{\plus}\limits_{i{\,:}\:\omega^{}_{i}\in\Omega\setminus A}u^{}_{i}\Bigr)=\theta(\mathrm{p}^{}_{\Omega\setminus A}(g^{}_{\cdot}))$, где $\widehat{u}^{}_{i}=\widehat{\mathrm{p}}^{}_{i}\,\widehat{\btimess}\,\widehat{g}^{}_{i}=\theta(\mathrm{p}^{}_{i}\btimess g^{}_{i})=\theta(u^{}_{i})$, $i=1,2,\ldots,$ то функция $\theta^{}_{e}(\dot)=\theta\circ\gamma^{}_{e}(\dot){\,:}\:[0,v]\to[0,1]$, согласно (), определяет взаимно однозначное соответствие: $\forall\,A\subset\Omega$ $\mathrm{n}^{}_{A}(\widehat{g}^{}_{\cdot})=\theta^{}_{e}(\sum\limits_{i{\,:}\:\omega^{}_{i}\in\Omega\setminus A}\mathrm{pr}^{}_{i}f^{}_{i}) = \theta^{}_{e}(\mathsf{E}^{}_{\Omega\setminus A}(f^{}_{\cdot}))$ между классом $\textbf{n}^{}_{(e)}$ взаимно эквивалентных $\mathrm{n}$ и классом $\boldsymbol{\mathsf{E}}^{}_{(e)}$ взаимно нечетко эквивалентных математических ожиданий, ${e\in(0,1)}$.

Нечеткий элемент (нч. э.) $\eta$ определим как канонический\eta$(Y,{\cal P}(Y))$\mathrm{P}_{Y}$\mathrm{N}_{Y}$ (Y,{\cal P}(Y),\mathrm{P}_{Y},\mathrm{N}_{Y})=(Y,{\cal P}(Y),\mathrm{P}^{\eta}_{}\!,\mathrm{N}^{\eta}_{})$ для нечеткого пространства $(Y,{\cal P}(Y),\mathrm{P}_{Y},\mathrm{N}_{Y})$, задав распределения возможностей $g^{\eta}(y)=\mathrm{P}_{Y}(\{y\})\stackrel{\text{def}}{=}\mathrm{P}^{\eta}(\eta=y)$ и необходимостей $\widehat{g}^{\eta}(y)=\mathrm{N}_{Y}(Y\setminus\{y\})\stackrel{\text{def}}{=}\mathrm{N}^{\eta}({\eta\ne y})$, ${y\in Y,}$ его значений, поскольку, согласно (), $\forall\,B\in{\cal P}(Y)$

где $\widehat{\chi}_{B}{({\cdot})}=\theta\circ\chi_{Y\setminus B}{({\cdot})}$, и согласно () и () $\mathrm{p}$- и $\mathrm{n}$ $\mathrm{p}_{g^{\eta}}$ и $\mathrm{n}_{\widehat{g}^{\eta}}$ относительно мер $\mathrm{P}^{}_{Y}$ и $\mathrm{N}^{}_{Y}$ суть $\mathrm{p}_{g^{\eta}}(f{({\cdot})})=\plus\limits_{y\in Y}(g^{\eta}(y)\btimess f(y))$, $f{({\cdot})}\in{\cal L}(Y)$, $\mathrm{n}_{\widehat{g}^{\eta}}(\widehat{f}{({\cdot})}) = \mathop{\widehat{\plus}}\limits_{y\in Y}(\widehat{g}^{\eta}(y)\,\widehat{\btimess}\,\widehat{f}(y))$, $\widehat{f}{({\cdot})}\in\widehat{\cal L}(Y)$.

Нечетким множеством (нч. м.), определенным на $(Y, \calP(Y), \Poss_{Y},\mathrm{N}_{Y})$, со значениями в ${\cal P}(X)$, назовем образ $A^{\eta}$ нч. э. $\eta$ при многозначном отображении $A^{\cdot}{\,:}$ $Y\to\calP(X)$. Одной из основных характеристик $A^{\eta}$ являются его индикаторные функции одноточечного покрытия (и. ф. о. п.)

определяющие возможность и необходимость покрытия $x\in X$ нч. м. $A^{\eta}$; в () $A_{\cdot}{\,:}$ $X\to{\cal P}(Y)$, $A_{x}\stackrel{\text{def}}{=}\{y\in Y,\,x\in A^{y}\}$, ${x\in X,}$ --- отображение, обратное $A^{y}\!$, ${y\in Y}$ [poss2].

Поскольку $(A\cup B)^{\cdot}=(A^{\cdot}\cup B^{\cdot})$, $(A\cup B)_{\cdot}=(A_{\cdot}\cup B_{\cdot})$, то, как и для функций принадлежности Заде [zadeh], $g^{(A\cup B)^{\eta}}(x)=g^{A^{\eta}\cup B^{\eta}}(x)=\mathrm{P}^{\eta}(\eta\in A_{x}\cup B_{x}) = \mathrm{P}^{\eta}(\eta\in A_{x})\plus \mathrm{P}^{\eta}(\eta\in B_{x})=g^{A^{\eta}}(x)\plus g^{B^{\eta}}(x)$, ${x\in X,}$ но $g^{(A\cap B)^{\eta}}(x)=g^{A^{\eta}\cap B^{\eta}}(x)=\mathrm{P}^{\eta}(\eta\,{\in}\, A_{x}\cap B_{x})\leqslant \mathrm{P}^{\eta}(\eta\in A_{x})\btimess \mathrm{P}^{\eta}(\eta\in B_{x})=g^{A^{\eta}\!}(x)\btimess g^{B^{\eta}\!}(x)$, ${x\in X,}$ в то время как в [zadeh] в этом случае постулируется равенство. Если $A^{\cdot}\subset B^{\cdot}$, то, как нетрудно убедиться, $g^{A^{\eta}}(x)\leqslant g^{B^{\eta}}(x) $, ${x\in X,}$ но из этих неравенств не следует, что ${A^\cdot\subset B^\cdot}$, как это постулируется в [zadeh,duboisprad]. Наконец, и. ф. о. п. $g^{X\setminus A^{\eta}}{({\cdot})}$ не определяется и. ф. о. п. $g^{A^{\eta}}{({\cdot})}$, как это постулируется для функций принадлежности нч. м. $X\setminus A^{\eta}$ и $A^{\eta}$ в [zadeh,duboisprad], где следствием этого являются, вообще говоря, неравенства $({X\setminus A^\eta})\cup{A^\eta\ne X,}$ $({X\setminus A^\eta})\cap{A^\eta\ne\varnothing}$. В данном случае, разумеется, $g^{X\setminus A^{\eta}}(x)\plus g^{A^{\eta}}(x)=1$, $x\in X$.

Пусть $A^{\cdot}_i{\,:}$ $Y\rightarrow {\calP}(X_i)$, $i=1,\dots,n$, --- многозначные отображения, $q_j (\dot){\,:}$ $Y\rightarrow X_{j}'$, $j=1,\dots,m$, --- функции и для простоты $\Poss^{\eta}(\dot)$ и $\Noss^{\eta}(\dot)$ дуально согласованы; случай произвольных $\mathrm{P}^{\eta}(\dot)$ и $\mathrm{N}^{\eta}(\dot)$ см. в [poss2].

Если в () только нч. э., то () определит взаимную независимость нч. э.

Если $z_{i}({\cdot}){\,:}$ $X_{i}\rightarrow Z_{i},$ $i=1,\dots,n,$ --- произвольные функции и нч. э. $\xi_{i},$ $i=1,\dots,n,$ взаимно независимы, то, как нетрудно проверить, взаимно независимы и нч. э. $\zeta_{i}=z_i(\xi_i),$ $i=1,\dots,n,$ и $\forall\,z_{i}\in Z_{i},$ $i=1,\dots,n,$ $g^{\zeta_1,\dots,\zeta_n}(z_1,\dots,z_n)=\sup\Bigl\{\min\limits_{1\leqslant j\leqslant n}g^{\xi_j}(x_j)\:|\:x_i\in X_i,$ $z_i(x_i)=z_i,$ $i=1,\dots,n\Bigr\}=\min\limits_{1\leqslant i\leqslant n}\sup\{g^{\xi_i}(x_i)\:|\:x_i\in X_i,$ $z_i (x_i)=z_i\}=\min\limits_{1\leqslant i\leqslant n}g^{\zeta_i}(z_i),$ где $g^{\zeta_i}(z_i)=\sup\{g^{\xi_{i}}(x_{i})\:|\:x_{i}\in X_{i},$ $z_{i}(x_{i})=z_{i}\},$ $z_{i}\in Z_{i},$ $i=1,\dots,n.$

Если нч. э. $\eta_{1},\ldots, \eta_{n}$ взаимно независимы, то нч. м. $A^{\eta_1}_1,\dots,A^{\eta_n}_n$ взаимно независимы при любых отображениях $A^{\mbox{$$}}_i{\,:}$ $Y_i\rightarrow {\calP}(X_i)$, ${i=1,\dots,n,}$ и для любой функции $q(\dot){\,:}$ $Y_{i}\rightarrow X_{i}$ и любого отображения $A^{\mbox{$$}}{\,:}$ $Y_{j}\rightarrow {\calP}(X_{j})$ нч. э. $\xi = q (\eta_{i})$ и нч. м. $A^{\eta_{i}}$, ${i\ne j,}$ независимы.

В случае произвольных $\mathrm{P}^{\xi}$ и $\mathrm{N}^{\xi}$, если $g^{\xi}{({\cdot})}{\,:}$ $X\to{\cal L}$, $\widehat{g}^{\xi}{({\cdot})}{\,:}$ $X\to\widehat{\cal L}$ суть распределения возможностей и необходимостей значений $\xi$, $A^{\cdot}_{}{\,:}$ $Y\to{\cal P}(X)$, нч. м. $A^{\eta}$ и нч. э. $\xi$ независимы в смысле одноточечного покрытия, то возможность и необходимость покрытия нч. э. $\xi$ нч. м. $A^{\eta}$

Поскольку в fS:17*, fS:18* $g^{\xi^{}_{2}}(x^{}_{2})\geqslant g^{\xi_{1},\xi^{}_{2}}(x_{1},x^{}_{2})$, $x_{1}\in X_{1}$, $x^{}_{2}\in X^{}_{2},$ уравнение fS:17* разрешимо относительно $g^{\xi_{1}|\xi^{}_{2}}(x_{1}|x^{}_{2})$. Любой вариант условного, при условии $\xi^{}_{2} = x^{}_{2}$, распределения возможностей значений $\xi_1$ можно определить равенством

где $f({\cdot}){\,:}$ ${\cal L}\to{\cal L}$ --- произвольная функция такая, что $f(a)\geqslant a$, ${a\in[0,1]}$.

Заметим, однако, что при некоторых $x_{2}\in X_{2}$ среди вариантов () условного распределения $g^{\xi_{1}|\xi_{2}}{(\cdot|x_{2})}$ может и не быть распределения условной возможности, определенной как решение $\mathrm{P}^{\xi^{}_{1}|\xi^{}_{2}}(\xi^{}_{1}=x^{}_{1}|\xi^{}_{2}=x^{}_{2})$ уравнения $\mathrm{P}^{\xi^{}_{1},\xi^{}_{2}}(\xi^{}_{1}=x^{}_{1},$ $\xi^{}_{2}=x^{}_{2})=\min\{\mathrm{P}^{\xi^{}_{1}|\xi^{}_{2}}(\xi^{}_{1}=x^{}_{1}|\xi^{}_{2}=x^{}_{2}),$ $\mathrm{P}^{\xi^{}_{2}}(\xi^{}_{2}=x^{}_{2})\}$, в котором $\mathrm{P}^{\xi^{}_{2}}(\xi^{}_{2}=x^{}_{2}) = \sup\limits_{x^{}_{1}\in X^{}_{1}}\mathrm{P}^{\xi^{}_{1},\xi^{}_{2}}(\xi^{}_{1}=x^{}_{1},$$\xi^{}_{2}=x^{}_{2})$. Действительно, если в fS:18* при некотором $\overline{x}_{2}\in X_{2}$ точная верхняя грань не достигается, то $g^{\xi_{1},\xi_{2}}(x_{1},\overline{x}_{2})<g^{\xi_{2}}(\overline{x}_{2})$, $x_{1}\in X_{1},$ и, следовательно, в fS:17* (см. fS:19*)

Если при этом $g^{\xi_{2}}(\overline{x}_{2}) < 1$, то, согласно fS:18*, fS:20*, $\sup\limits_{x_{1}\in X_{1}}g^{\xi_{1}|\xi_{2}}(x_{1}|\overline{x}_{2})=g^{\xi_{2}}(\overline{x}_{2})<1$, т. е. $g^{\xi_{1}|\xi_{2}}(\cdot|\overline{x}_{2}){\,:}$ $X_{1}\to{\cal L}_{2}$ не есть распределение условной возможности значений нч. э. $\xi_{1}$.

Подобное замечание касается и условного распределения необходимостей в (). Эта проблема не возникает, если решение () рассматривать в  субъективной шкале значений возможности, определенной м.-и., в которой событие $\xi^{}_{2}=x^{}_{2}$ достоверно [pytyevnewsm].

Эти замечания, а также тот факт, что для определения условных распределений необходимо знать совместные распределения, объясняют, почему естественнее использовать переходные возможность, необходимость и их распределения.

В статье показаны принципиальные трудности, свойственные как интерпретации событийно наблюдений за эволюционирующим стохастическим объектом (Э. СТ. О.), так и эмпирическому восстановлению его вероятностной модели. В качестве альтернативной модели вероятностной случайности, ориентированной на их преодоление, предложена возможность как мера относительной предопределенности результатов событийно наблюдений за Э. СТ. О.

Рассмотрены свойства возможности, позволившие интерпретировать событийно наблюдения за Э. СТ. О. и эмпирически восстанавливать нечеткую модель класса Э. СТ. О., нечетко эквивалентные вероятностные модели которых не могут быть восстановлены эмпирически, решать задачи, типичные для приложений теории вероятностей, моделировать как вероятностную, так и невероятностную случайности, свойственные реальным физическим, техническим, социальным системам и т. п.

В отличие от вероятностной модели $(\Omega,{\cal P}(\Omega), \mathrm{Pr})$Э. СТ. О., произвольно эволюционирующей в пределах класса нечетко эквивалентных моделей, его единственная с точностью до эквивалентности нечеткая модель $(\Omega,{\cal P}(\Omega), \mathrm{P},\mathrm{N})$ позволяет решать все задачи для любого Э. СТ. О., вероятностная модель которого эволюционирует в пределах класса нечетко эквивалентных, которые вероятностными методами можно решить для неэволюционирующего СТ. О.

Методы решения прикладных задач, рассмотреные в статье <<Математическое моделирование феноменов случайности и нечеткости в научных исследованиях. 2. Приложения>>, основаны на представленной в данной статье теории мер возможности $\mathrm{P}$, необходимости $\mathrm{N}$ и $\mathrm{p}$-, $\mathrm{n}$-интегралов и их связях с вероятностью $\mathrm{Pr}$ и с математическим ожиданием соответственно.

Автор выражает благодарность Ю. М. Нагорному и Д. А. Балакину за обсуждение и за помощь при подготовке электронного варианта статьи.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 08-07-00133a, 11-07-00722, 14-07-00441).