Спины осколков вынужденного деления в рамках динамического подхода

Развитие современной теории вынужденного деления атомных ядер во многом связано с детальным описанием динамических аспектов этого сложного ядерного процесса [1,2]. Причем на передний план выходит изучение полной длительности [3--5], длительностей протекания отдельных стадий [3,6,7] и времен протекания различных релаксационных процессов [8,2,9,10] для ядерного деления. Существенный прогресс здесь связан с появлением динамической модели формирования угловых распределений осколков деления [4,11,12], в рамках которой эволюция делящегося ядра описывается в комбинированном пространстве деформационных переменных и проекции $K$ полного углового момента $\textbf{J}$ на ось деления. Для моделирования динамики изменения деформационных переменных используются стохастические уравнения Ланжевена. $K$ рассматривается как величина, испытывающая случайные переходы между своими допустимыми значениями на протяжении всей эволюции делящейся системы. Частота таких переходов определяется временем релаксации $\tau_K$ для $K$-моды. Вид угловых распределений осколков зависит от соотношения между $\tau_K$ и длительностями протекания отдельных стадий деления. Модель обеспечивает согласованное описание угловых распределений осколков деления в чрезвычайно широком диапазоне энергий возбуждения и $J$ делящегося ядра, включая столь высокие значения, что традиционно используемая стандартная статистическая модель переходных состояний в седловой точке барьера деления [13] становится неприменима [14]. Следует отметить, что статистическая модель переходных состояний в седловой точке барьера деления является частными случаем динамической модели [11,12. Модель была успешно использована для анализа экспериментальных данных по угловым распределениям осколков деления и квазиделения [4,10--12,15,16] в реакциях с тяжелыми ионами. Однако, как оказалось, величина $\tau_K,$ определенная в различных работах, лежит в довольно широких пределах $10^{-21}\mbox{--}10^{-18}$ c. В ряде работ рассматривались различные варианты зависимостей $\tau_K$ от деформации, углового момента и температуры делящегося ядра [16--18]. На этом пути также не удалось достичь единого мнения не только об указанных зависимостях, но и о характерных значениях $\tau_K.$ Следовательно, становится актуальным поиск новых экспериментально наблюдаемых величин, зависящих от динамических аспектов эволюции $K,$ и построение соответствующих методов расчета.

В настоящей работе в качестве такой величины предложено использовать средние спины осколков вынужденного деления. На базе динамической модели предложен метод расчета, отражающий динамические аспекты процесса формирования спинов осколков. В рамках предложенного метода проведен анализ экспериментальных данных по угловой и энергетической зависимостям средних спинов, а также по анизотропии угловых распределений осколков деления для реакции $^{16}\textrm{O}+{}^{232}$Th при $E_\textrm{cm}=80\mbox{--}150$ МэВ. Анализ выполнен в приближении постоянной величины $\tau_K$ и нацелен на определение характерного диапазона ее значений.

В настоящей работе для вычислений угловых распределений и спинов осколков деления используется формализм динамической модели [4,10--12]. В рамках этой модели динамика процесса вынужденного деления описывается с помощью системы стохастических уравнений Ланжевена для одной коллективной координаты $r$ и соответствующего импульса $p$

Здесь $r$ --- расстояние между центрами масс формирующихся осколков вдоль долины деления, которая определяется методом, предложенным в [19] с использованием параметризации [20] для аксиально и зеркально симметричных ядерных форм; $\beta(r)$ --- коэффициент затухания для деформационной моды $r$, а $f$ --- случайная сила со свойствами: ${\langle f(t)\rangle=0}$ и $\langle f(t_1),f(t_2)\rangle=2D(r)\delta({t_1-t_2})$. Предполагается, что для коэффициента диффузии $D(r)$ выполняется соотношение Эйнштейна $D(r)=m(r)\beta(r)T$, где $T$ --- температура делящегося ядра. Массовый параметр $m(r)$ рассчитывался в рамках приближения Вернера--Уиллера [21]. Консервативные силы в (1) определяются как производная по $r$ от свободной энергии $F(r,T,J,K =V(r,J,K)-a_d(r)T^2.$ Ядерная температура рассчитывалась с помощью хорошо известного соотношения $T=\sqrt{E_\textrm{int}/a_d(r)}$ (см. [1--3,7,14,22]), где $E_\textrm{int}=E^*-p^2/(2m)-V(r,J,K)$ --- энергия возбуждения, связанная с внутренними (одночастичными) степенями свободы, а $E^*$ --- полная энергия возбуждения. В расчетах учитывалась деформационная зависимость параметра плотности уровней $a_d(r)=a_{1d}A+a_{2d}A^{2/3}B_S(r)$, где $A$ --- массовое число, $B_S(r)$ --- безразмерный функционал поверхностной энергии. Значения коэффициентов $a_{1d}$ и $a_{2d}$ взяты из [22]. Для расчетов потенциальной энергии деформированного и вращающегося ядра с учетом ее зависимости от $K$ использовалось следующее соотношение:

где $Z$ --- заряд делящегося ядра; $B_C(r)$ --- безразмерный функционал кулоновской энергии; $E^0_S$ и $E^0_C$ --- поверхностная и кулоновская энергии для соответствующей сферического ядра; $\Im_\parallel$ и $\Im_\perp$ --- моменты инерции относительно оси симметрии делящегося ядра и оси, перпендикулярной к ней соответственно. Моменты инерции рассчитывались в приближении твердого тела [19,20]. Для $B_S(r)$ и $B_C(r)$ использовались результаты работы [19].

В рамках динамической модели для моделирования эволюции $K$ использовался следующий алгоритм. Для каждого шага численного интегрирования системы уравнений (1) рассчитывается вероятность случайного перехода между ее допустимыми значениями (${-J\le K\le J}$), которая полагается равной $h/\tau_K$, где $h$ --- величина шага численного интегрирования. Далее генерируется случайное число $\xi$ с однородным распределением в интервале $[0,1]$. Если выполняется условие $\xi<h/\tau_K$, выбирается новое значение $K$ из распределения

Здесь $\Delta F$ --- изменение свободной энергии при переходе к новому значению $K$. В расчетах также учитывался процесс эмиссии легких частиц (нейтронов, протонов, $\alpha$ и $\gamma$). Метод учета эмиссии при ланжевеновском моделировании деления подробно описан в [2,23]. Отметим только, что после каждого акта эмиссии вводились поправки не только на величину $J$ вследствие уносимого частицей углового момента, но и на величину $K$. Причем в последнем случае предполагалось, что эмиссия легкой частицы не меняет угла ориентации оси симметрии делящегося ядра относительно $\textbf{J}$.

Для расчетов наблюдаемых характеристик процесса вынужденного деления разыгрывалось множество ланжевеновских событий. Начальные значения $r,~p$, $J$ и $K$ выбирались на основе следующего распределения:

Здесь $r_\textrm{eq}(J,K)$ --- значение коллективной координаты для равновесной деформации при данных $J$ и $K$. Все детали расчета начальных распределений $Y_0(J,K)$ подробно описаны в [10]. В конечном счете характеристики процесса деления рассчитывались как среднее по большому числу ланжевеновских событий. Так, например, угловые распределения осколков деления рассчитываются следующим образом:

где $N_f$ --- количество ланжевеновских событий деления, $d^{J}_{K,M}(\theta)$ --- сферическая функция Вигнера, $\theta$ --- угол вылета осколков деления по отношению к направлению пучка налетающих частиц.

При вычислении средних спинов осколков деления $\langle S(\theta)\rangle$ необходимо учесть следующие механизмы. Первый --- часть полного углового момента делящейся системы, связанная с ее вращением как целого, переходит в спины осколков. Второй --- возбуждение $K$-моды, которое приводит к появлению угловой зависимости спина осколков деления [25--27]. Третий --- возбуждение различных коллективных спиновых мод (так называемых wrigling, bending и twisting) в процессе разрыва делящегося ядра на два фрагмента. В этом случае принято предполагать, что характерные времена релаксации коллективных спиновых мод столь малы, что в точке разрыва они достигают теплового равновесия, а их совокупный вклад можно оценить как $S_\textrm{coll}=kA^{5/6}T^{1/2}$ [24,26,27], где $k$ --- коэффициент пропорциональности. Таким образом, в рамках динамической модели

В выражении (6) коэффициент $c$ характеризует часть $J$, переходящую в спины осколков деления [25]. Этот коэффициент для системы из двух соприкасающихся осколков деления равен $c=(\Im_1+\Im_2)/(\Im_1+\Im_2+\mu r_\textrm{sci}^2)$, где $\Im_{1,2}$ --- моменты инерции осколков деления, $\mu$ --- их приведенная масса, а $r_\textrm{sci}$ --- расстояние между центрами масс осколков в точке разрыва. Так, например, если в точке разрыва делящаяся система представляет собой две сферы равной массы, то ${c=2/7}$. Как правило, в расчетах значения $c$ и $k$ варьируются с целью наилучшего описания экспериментальных данных.

Отметим также, что в таких вычислениях величина $\langle S(\theta)\rangle$ не связана с какой выделенной точкой потенциальной поверхности делящегося ядра (седловой точкой или точкой разрыва) и должна зависеть от $\tau_K$. Кроме того, в рамках предложенного подхода автоматически учитывается фактор, обсуждаемый в [26,27] и связанный с подавлением возбуждения коллективных спиновых мод вследствие возбуждения $K$-моды.

Апробация предложенного динамического подхода к вычислениям средних спинов осколков вынужденного деления проведена на примере описания экспериментальных данных по энергетической и угловой зависимостям средних спинов, а также по анизотропии угловых распределений $[W(180^\circ)/W(90^\circ)]$ осколков деления для реакции полного слияния--деления $^{16}\textrm{O}+{}^{232}$Th при $E_\textrm{cm}=80\mbox{--}150$ МэВ. Отметим, что начальныe распределения делящегося ядра по $J$ и $K$ (см. соотношение (4)), формирующиеся во входном канале реакции, были взяты из работы [10], где подробно описан сам метод расчета этих распределений и приведены значения всех параметров ядро потенциала. Однако, в отличие от [10], в этой работе экспериментальные данные анализировались только для надбарьерных энергий. Также следует указать, что, как и в [10], коэффициент затухания для деформационной моды $\beta(r)$ рассчитывался в рамках модели однотельной ядерной диссипации [28], а именно с использованием формулы <<стена${}+{}$окно>> [29,36]. Причем значение параметра ${k_s=0.2}$ (введен авторами [29,36] для понижения вклада механизма <<стены>>) также было взято из [1], где оно определено на основе описания экспериментальных данных по множественности предразрывных нейтронов для реакции $^{16}\textrm{O}+{}^{232}$Th. Таким образом, при проведении анализа экспериментальных данных в рамках предложенного динамического подхода варьировались только значения $\tau_K,~c$ и $k.$

Отметим, что в случае столкновения бесспиновых ядер $\textbf{J}$ образующегося составного ядра лежит в плоскости перпендикулярной пучку налетающих частиц. Используя обычное как для динамических [10--12,15--17], так и для статистических расчетов [14,26,27] предположение о пренебрежимо слабом влиянии эмиссии легких частиц на ориентацию $\textbf{J}$ можно сделать вывод, что для $S(180^\circ)$ и $S(0^\circ)$ значения ${K\ne0~\hbar}$ практически не дают вклада. Другими словами, величины $S(\theta)$ при углах, близких к 0 и $180^\circ$, практически не зависят от $\tau_K$, а их анализ позволяет независимо определить значения коэффициентов $c$ и $k$. Для этих целей мы использовали экспериментальные данные по энергетической зависимости $S(165^\circ)$ (рис. 1). В наших расчетах величина $S(165^\circ)$ действительно оказалась нечувствительной к выбору $\tau_K$, а для коэффициентов $c$ и $k$ получены значения 0.3 и 0.124 соответственно. Эти значения оказались близки к значениям, полученным в [26,27] в рамках статистического анализа.

На рис. 1, 2 и 3 представлено сравнение экспериментальных данных по энергетической зависимости $\langle S(90^\circ)\rangle$, угловой зависимости $\langle S(\theta)\rangle$ при $E_\textrm{lab} = 120$ МэВ и анизотропии угловых распределений осколков деления с результатами вычислений, выполненных при $\tau_K=50\cdot10^{-21}$ c, $20\cdot10^{-21}$ c и $10\cdot10^{-21}$ c. Наилучшего одновременного описания всех трех экспериментально наблюдаемых величин удается достичь при $\tau_K=20\cdot10^{-21}$ c. Однако при таком значении $\tau_K$ наблюдается незначительная недооценка расчетами экспериментальных $\langle S\rangle$ при углах, близких к $90^\circ$, которая уменьшается с ростом $\tau_K$. С другой стороны, как видно на рис. 3, увеличение величины $\tau_K$ приводит к существенному уменьшению расчетных значений анизотропии угловых распределений осколков деления по отношению к экспериментальным данным. Тем не менее можно утверждать, что $\tau_K$ имеет порядок $10^{-20}$ c. По, получение более детальной экспериментальной информации об угловой зависимости средних спинов осколков деления в диапазоне углов $\theta={90\mbox{--}150^\circ}$ позволит сделать более определенный вывод о величине времени релаксации для $K$-моды.

Обсудим наблюдаемые в расчетах поведение энергетической и угловой зависимостей $\langle S\rangle$ при изменении $\tau_K$. Подчеркнем, что наибольшей чувствительностью к характеристикам распределений по $K$ обладает величина $\langle S(90^\circ)\rangle$. Действительно, при эмиссии фрагментов перпендикулярно пучку налетающих частиц все возможные значения $K$ дают заметный вклад в $\langle S\rangle$. Последнее связано со свойствами $d$ (соотношения (5) и (6) (см. также [25--27]). На рис. 4 и 5 для двух начальных значений ${J=20}$ и $50~\hbar$ продемонстрирована чувствительность распределений по $K$ ($Y(J,K)$), реализующихся в процессе деления, к выбору $\tau_K$. Распределения вычислены при $E_\textrm{lab}=120$ МэВ с $\tau_K=10\cdot10^{-21}$, $20\cdot10^{-21}$ и $50\cdot10^{-21}$ c и без учета эмиссии легких частиц.

Для сравнения на рис. 4 и 5 также приведены $Y(J,K)$, соответствующие седловой точке барьера деления и точке разрыва при $K=0~\hbar$ [13,14]. Отметим, что при $J=20~\hbar$ отношение величины барьера деления (при $K=0~\hbar$) к температуре делящейся системы составляет $B_f/T\approx0.95$, а средняя полная длительность деления, $t_f=61\cdot10^{-21}$ с, превышает и среднюю длительность эволюции от седловой точки до точки разрыва, $t_{ss}=18\cdot10^{-21}$ с, и используемые в настоящей работе значения $\tau_K$. При $J=50~\hbar$ отношение $B_f/T\approx0.14$, $t_f=51\cdot10^{-21}$ с, а $t_{ss}=20\cdot10^{-21}$ с.

Как показано на рис. 4 и 5, уменьшение $\tau_K$ приводит к более узким распределениям по $K$, приближающимся распределениям для точки разрыва, что, в свою очередь, приводит к уменьшению расчетных значений $\langle S(90^\circ)\rangle$. Отметим также близость $Y(J{=}20~\hbar,K)$, вычисленного при $\tau_K=50\cdot10^{-21}$ с, к $Y(J,K)$ для седловой точки. Это объясняется тем, что большинство переходов между различными значениями $K$ происходит до седловой точки (${t_{ss}<\tau_K<t_f}$) и увеличением величины барьера деления с ростом $K$ [3,11,12]. Распределение $Y(J=50~\hbar,K)$ оказалось более узким (хотя и близким), чем распределение в седловой точке, так как ${\tau_K\approx t_f}$, и соответственно <<выбор>> $K$ может реализоваться на протяжении всей эволюции делящейся системы от равновесной деформации до точки разрыва.

В целом можно утверждать, что в рамках предложенного метода процесс формирования средних спинов осколков деления не связан с какой выделенной точкой потенциальной поверхности делящегося ядра (седловой точкой или точкой разрыва). Удовлетворительное согласие расчетных и экспериментальных значений подтверждает адекватность построенной динамической картины. Заметная зависимость $\langle S(90^\circ)\rangle$ от величины $\tau_K$ делает предложенный метод перспективным для исследований роли входного канала в реакциях полного слияния деформированных ядер --- деления при подбарьерных энергиях ядро столкновений [10]. Еще одно перспективное направление применения предложенного динамического метода --- исследование процесса формирования спинов осколков деления при более низких энергиях возбуждения, когда становится важной оболочечная структура барьера деления [7,33--35].

Развит новый динамический подход к вычислениям средних спинов осколков вынужденного деления. Подход базируется на формализме предложенной ранее динамической модели процесса формирования угловых распределений осколков деления. В рамках предложенного подхода проведен анализ экспериментальных данных по угловой и энергетической зависимостям средних спинов, а также по анизотропии угловых распределений осколков деления для реакции полного слияния--деления $^{16}\textrm{O}+{}^{232}$Th при $E_\textrm{cm}=80\mbox{--}150$ МэВ. Показано, что в целом расчеты обеспечивают удовлетворительное описание рассматриваемых экспериментальных данных, а время релаксации для $K$-моды составляет по порядку величины $10^{-20}$ c. Предложенный динамический подход является перспективным для исследований роли входного канала в реакциях полного слияния--деления при подбарьерных энергиях ядро столкновений.