Изучение оболочечной структуры ядер, расположенных вдали от долины $\beta$, --- одна из наиболее актуальных задач современной ядерной физики. Для стабильных ядер на сегодняшний день накоплен значительный объем экспериментальной информации об одночастичных характеристиках вблизи энергии Ферми $E_\textrm{F}$, полученных методом совместной оценки данных реакций срыва и подхвата нуклона на одном и том же ядре [1,2]. Эти данные позволяют проследить в эволюции одночастичных характеристик при изменении $N$ и $Z$ ядра формирование как традиционных, классических магических чисел, так и новых неклассических [2]. Эмпирические данные о структуре нестабильных ядер, появившиеся в последние десятилетия благодаря развитию экспериментальной техники ускорения вторичных пучков нестабильных ядер, стимулировали развитие теоретических подходов для предсказательных расчетов структуры. Достигнут значительный прогресс в развитии микроскопической оболочечной модели, связанный во многом с включением тензорного члена нуклон-нуклонного взаимодействия [3] В работах Махо и cоавторов ([4] и цит. лит.) развита полуфеноменологическая дисперсионная оптическая модель (ДОМ) для расчета дифференциальных сечений упругого рассеяния, поляризации, полных сечений реакций и взаимодействия при рассеянии нуклонов ядрами и одночастичных характеристик ядер (одночастичных энергий, фрагментационных ширин, спектроскопических факторов и спектральных функций, вероятностей заполнения и среднеквадратичных радиусов одночастичных орбит). ДОМ эффективно учитывает корреляции, которые испытывает нуклон в ядре, как распределенные по объему, так и сконцентрированные на поверхности ядра и успешно применяется в расчетах данных по рассеянию налетающих частиц ядрами и их одночастичных характеристик.

Дважды магическое ядро $^{208}$Pb --- одно из тестовых ядер, на примере которого была развита ДОМ [4. Для него накоплен значительный экспериментальный материал как по рассеянию, так и по одночастичным характеристикам. В настоящей работе на примере этого ядра проверяется применимость методики определения параметров ДОМ, развитой в [5]. Ранее [4] расчеты одночастичной структуры ядра $^{208}$Pb по ДОМ были выполнены лишь для энергетического диапазона вблизи границы Ферми. Позднее в реакции $(p,pn)$ и $(p,2p)$ с энергией налетающих протонов около 1 ГэВ были получены экспериментальные данные [6] об одночастичных энергиях $E_{nlj}$ и фрагментационных ширинах $\Gamma_{nlj}$ глубоколежащих одночастичных состояний этого ядра. Эти данные включены в анализ по ДОМ, выполненный в настоящей работе. Результаты расчета сравниваются с полученными в рамках развитой в последние годы одноквазичастичной дисперсионной оптической модели (ОКДОМ) [7]. В [8] было отмечено, что ДОМ приспособлена для расчетов одночастичной структуры нестабильных ядер при изменении чисел нейтронов и протонов в направлении границ нуклонной стабильности. В настоящей работе выполнены предсказательные расчеты по ДОМ эволюции протонной одночастичной структуры близких к сферическим изотопов Pb в пределах границ нуклонной стабильности.

Среднее локально-эквивалентное поле дисперсионной оптической модели комплексное:

где $U_p(r,E)$ --- центральная часть нуклонного потенциала, $U_\textrm{so}(r, E)$ --- спин, а $V_\textrm{C}$ --- кулоновский потенциал (для протонов). Действительная центральная часть дисперсионного оптического потенциала (ДОП) представляется в виде суммы потенциала хартри типа $V_\textrm{HF}(r,E)$ и дисперсионной составляющей $\Delta V(r,E)$, так что

где радиальная зависимость описывается функцией Вудса--Саксона. Индексы HF, $s,~d$ относятся соответственно к хартри, объемной и поверхностной составляющим потенциала.

Дисперсионная составляющая отражает связь одночастичного движения с более сложными конфигурациями ядра и эффективно учитывает корреляции, которые испытывает нуклон в ядре. Она вычисляется из дисперсионного соотношения по данным о мнимой части ДОП:

Здесь $P$ --- главное значение интеграла, записанного в разностном виде. Он вычислялся нами с использованием аналитических выражений [9].

В интервале энергий, соответствующих связанным состояниям нуклона, спин потенциал с достаточной точностью может считаться действительным:

Кулоновский потенциал представлялся потенциалом равномерно заряженной сферы радиуса $R=A^{1/3}r_\textrm{C}.$ Параметры $V_\textrm{so}(E)$, $r_\textrm{so}$, $a_\textrm{so}$, $r_\textrm{C}$ брались из систематики глобальных параметров [10]. Геометрические параметры других компонент нейтронного и протонного ДОП ядра $^{208}$Pb также близки или совпадают с предсказаниями этой систематики: $r_\textrm{HF}=1.244$ фм, $a_\textrm{HF}=0.650$ и $0.646$ фм, $r_s=1.235$ и $1.244$ фм, $a_s=0.646$ фм, $r_d=1.249$ и $1.246$ фм, $a_d=0.510$ и $0.615$ фм для нейтронов и протонов соответственно.

Одночастичные энергии $E_{nlj}$ подоболочки с квантовыми числами $nlj$ вычислялись при решении методом итераций уравнения Шрёдингера:

где $\Phi_{nlj}(\textbf{r})$ --- одночастичные волновые функции, $m$ --- приведенная масса нуклона, а $V(r,E_{nlj})$ --- действительная часть ДОП.

Энергия $E_\textrm{F}$ определялась по данным об энергиях отделения $S_{i}$ нуклона от ядра с массовым числом $A$:

Данные о $S_{i}$ брались нами из [11--13]. При определении $E_\textrm{F}$ для ядра с магическим числом $N(Z)$ можно заменить $S_i(A)$ на энергию $E_{-}$ последнего преимущественно заполненного, а ${-}\,S_i(A{+}1)$ --- на энергию $E_{+}$ первого наиболее свободного состояния нуклона. Так, в изотопе $^{208}$Pb энергия $E_\textrm{F}$ была определена равной ${-}\,5.65$ МэВ для нейтронов и ${-}\,5.90$ МэВ для протонов.

При аналитическом вычислении дисперсионного интеграла были использованы два вида параметризации мнимой части ДОП, симметричной относительно $E_\textrm{F}$. Эти параметризации записаны ниже в терминах объемных интегралов $J_{I,s,d}$ (индекс $I$ относится к суммарной мнимой части) для области ${E>E_\textrm{F}.}$ Первая зависит от энергии как $E^2$:

Вторая зависит от энергии как $E^4$:

Интервал энергий $(2E_\textrm{F}-E_p)<E<E_p$ вблизи энергии $E_\textrm{F},$ в котором мнимая часть ДОП приравнивается к нулю, в магическом ядре больше, чем в немагическом. Этот оболочечный эффект приводит к увеличению в ядре с магическим числом нейтронов (протонов) частично щели между энергиями $E_{-}$ и $E_{+}$ по сравнению с соседними ядрами. Проявление оболочечного эффекта продемонстрировано нами на примере изотопов Са, Ti, Cr, Fe, Ni, Zr [14--16]. Для определения параметра $E_p$ протонного ДОП мы использовали выражение, аналогичное [17]:

Значение коэффициента $f=0.6$ было найдено при описании экспериментальных протонных энергий $E_{+}$ и $E_{-}$ в $^{208}$Pb, которое было достигнуто с параметром $E_p={-}2.0$ МэВ. Для нейтронов мы приравняли $E_p$ к $E_\textrm{F}.$ В случае выбора выражений (2) мнимая часть вблизи $E_\textrm{F}$ близка к нулю даже при ${E_p=E_\textrm{F}.}$ Параметр $\alpha$ выражений (2) приравнивался нами к среднему в интервале энергий 40--60 МэВ значению объемного интеграла $J_{I},$ предсказываемого систематикой [10]. Параметр $\beta_s={E_k-E_\textrm{F}}$ выбирался из условия равенства $J_s(E_k)$ значению $J_s^\textrm{KD}(E_k)$ при энергии $E_{k}$, для которой ${J_s^\textrm{KD}(E_k)=\alpha/2}$.

Параметры мнимой части ДОП (1), (2) нейтронного и протонного ДОП ядра $^{208}$Pb были определены нами в согласии с глобальными параметрами [10] и с эмпирическими значениями, полученными в [18]: $D_1=92.0$ и $163.3$ MэВ${\cdot}$фм$^3,$ $d_2=0.018$ МэВ, $d_3=11.5$ МэВ, $W_1=163.0$ и $140.7$ MэВ${\cdot}$фм$^3,$ $w_2=90.09$ МэВ; $\alpha=64.0$ и $97.4$ MэВ${\cdot}$фм$^3,$ $\beta_I=11$ и $6$ МэВ, $\beta_s=48.0$ и $65.9$ МэВ для нейтронов и протонов соответственно. Энергетическая зависимость $J_{d}(E)$ нейтронного и протонного ДОП с параметрами (1) показана на рис. 1.

В работе [17] был проведен анализ имеющихся экспериментальных данных по рассеянию и одночастичным характеристикам для стабильных ядер по ДОМ. Полученные результаты свидетельствовали в пользу существенной асимметрии поверхностного поглощения для протонов и нейтронов. Так, поверхностное поглощение для нейтронов слабо зависело от относительного нейтронного избытка $({N-Z})/A$, в то время как для протонов --- сильно, в частности максимальное значение силового параметра поверхностного поглощения $W_{d}$ [17] протонов ядром $^{208}$Pb примерно на 30% превышает предсказания систематики [10]. Исследование зависимости $W_{d}$ от $({N-Z})/A$ важно, потому что она может существенно повлиять на динамику частично щели ядер вблизи границ нуклонной стабильности.

Плавная энергетическая зависимость хартри составляющей ДОП была параметризована выражениями

Параметр $\gamma$ находился по экспериментальным данным [6] об энергиях глубоколежащих состояний $^{208}$Pb, полученным в реакциях $(p,pn)$ и $(p,2p)$ с энергией налетающих протонов около 1 ГэВ. Было найдено, что $\gamma=0.51$ для протонов, 0.44 и 0.40 для нейтронов в случае выбора зависимостей (1) и (2) соответственно. Параметр $V_\textrm{HF}(E_\textrm{F})$ в случае магического ядра может быть определен из соотношения

где $V_\textrm{HF}(E_{+,-})$ --- значения силового параметра хартри составляющей ДОП, с помощью которых достигается описание экспериментальных энергий $E_{-}$ и $E_{+}.$ Значение $V_\textrm{HF}(E_\textrm{F})$ (6) в случае как нейтронного, так и протонного ДОП оказалось близким к определенному из условия согласия с числом $N(Z)$ ядра $^{208}$Pb расчетного суммарного числа нейтронов (протонов) в связанных состояниях, вычисляемого с использованием результатов расчета вероятностей заполнения одночастичных состояний $N_{nlj}^{n(p)}$:

Сильные короткодействующие корреляции, ведущую роль в возникновении которых играет $p\mbox{--}n$ [19] как следствие тензорных сил, выталкивают одночастичную силу в сторону положительных энергий на расстояние в несколько сотен МэВ [2]. Это приводит к тому, что суммарное количество нейтронов (протонов) в связанных состояниях, соответствующее $N_{nlj}$, вычисленным по приближенным формулам ДОМ [4]:

занижено, как правило, по сравнению с $N(Z)$. Поэтому оценка числа нуклонов по вероятностям заполнения связанных состояний, вычисляемым по формулам (8), не позволяет надежно определять параметр $V_\textrm{HF}(E_\textrm{F}).$ Для этой цели $N_{nlj}$ в (7) были определены нами с использованием выражения вид которого заимствован из теории Бардина--Купера--Шриффера (БКШ) с эмпирическим значением параметра щели спаривания

найденным по данным о $S_{i}$ [11--13]. Выражения (8), (9) приводят к хорошему согласию значений $N_{nlj}$ [21] c экспериментальными данными, полученными методом совместной оценки данных реакций срыва и подхвата нуклона на одном и том же ядре. В таблице даны значения $N_{n(p)}$ и $N_{nlj}^{n(p)},$ определенные по формулам (7), (9) с параметром щели спаривания $\Delta=1.015,$ 1.208 МэВ соответственно для нейтронов, протонов и с использованием энергий $E_{nlj}^\textrm{DOP},$ вычисленных с мнимой частью (1) и приведенных в таблице. Параметр $V_\textrm{HF}^{(1)}(E_\textrm{F})=15.14$ МэВ (5) нейтронного ДОП $^{208}$Pb определялся при усреднении значений $V_\textrm{HF}(E_k),$ найденных при подгонке расчетных сечений упругого рассеяния к экспериментальным данным. В случае протонного ДОП в энергетическом интервале ${-}\,65<E<50$ МэВ была использована зависимость (4).

Найденные параметры ДОП позволили с достаточно хорошей точностью описать экспериментальные данные по рассеянию нейтронов и протонов ядром $^{208}$Pb. Вычисленные дифференциальные сечения $\sigma_\textrm{el}(\theta)$ упругого рассеяния нейтронов c энергиями $E_k=14.6, 20, 30.4, 39.9$ МэВ на ядре $^{208}$Pb в качестве примера представлены на рис. 2, а в сравнении с экспериментальными данными [22--24. На рис. 2, б показаны дифференциальные сечения $\sigma_\textrm{el}(\theta)/\sigma_R$ упругого рассеяния протонов c энергиями $E_k=12.98, 16, 21, 35, 45, 47$ МэВ. Экспериментальные данные взяты из [25,26]. Соответствие полных сечений $\sigma_t$ взаимодействия нейтронов с экспериментальными данными [27] при энергии $E_k=14.6, 20, 30.4, 39.9$ МэВ демонстрируется на рис. 3, а. Вычисленные полные сечения $\sigma_r$ реакций под действием протонов хорошо согласуются с экспериментальными данными [28] (см. рис. 3, б), за исключением области низких энергий. В этой области результаты расчета занижены по сравнению с $\sigma_r^\textrm{exp}.$ Следует отметить, что сечения $\sigma_r,$ вычисленные в [17] с поверхностным поглощением протонов, демонстрирующим сильную зависимость от нейтрон асимметрии, также занижены по сравнению с $\sigma_r^\textrm{exp}$ в этой области энергий.

^{

208}$

В таблице представлено сравнение расчетных нейтронных и протонных одночастичных спектров ядра $^{208}$Pb с экспериментальной информацией. Хорошее соответствие достигнуто как для глубоколежащих состояний, так и для состояний, близких к энергии Ферми. Данные вблизи $E_\textrm{F}$ показаны на рис. 4, на котором приведены также результаты расчета по ОКДОМ [7]. Рисунок демонстрирует достигнутое хорошее согласие расчетных по ДОМ одночастичных спектров с экспериментальными данными.

Фрагментационные ширины были вычислены по формуле

где $\bigl\langle W_{nlj}(E_{nlj})\bigr\rangle$ и $\bigl\langle m_{nlj}^*/m\bigr\rangle$ --- усредненные по объему мнимый потенциал и отношение эффективной полной массы протона к массе свободного протона:

Фрагментационные ширины $\Gamma_{nlj},$ вычисленные без учета поправок в энергетическую зависимость мнимой части ДОП за счет ее нелокальности, представлены на рис. 5, а, б для нейтронных и протонных одночастичных орбит соответственно в сравнении с экспериментальными данными [6] и с результатами расчета по ОКДОМ [7]. Оценка вклада нелокальности объемной составляющей $W_{s}(E)$ привела к уменьшению ширин глубоколежащих состояний на ${\approx}\,$10%. Рисунок демонстрирует хорошее согласие расчетных значений $\Gamma_{nlj}$ как с данными эксперимента, так и с ОКДОМ.

Также нами были вычислены протонные и нейтронные плотности $\rho_{p(n)}(r)$ ядра $^{208}$Pb в одночастичном подходе

Переход от протонных плотностей к зарядовым был выполнен с использованием соотношения

где $a^2=0.4$ фм$^2$ приближенно учитывает протонный зарядовый форм и движение центра масс. На рис. 6, а представлены распределения нейтронных и зарядовых плотностей $^{208}$Pb, вычисленные с $N_{nlj}$ (8) с мнимой частью (2) и с $N_{nlj}$ (9) с мнимой частью (1) в сравнении с имеющимися экспериментальными данными. Плотности, соответствующие вероятностям заполнения $N_{nlj}$ (8) с мнимой частью (2), умножены на коэффициент 1.08 с целью достижения согласия с числом $Z=82.$ Расчеты хорошо согласуются с экспериментальными данными. Для сравнения распределения нуклонов в различных ядрах удобно вводить величину гало-фактора $f_g(r),$ характеризующего отношение нейтронной плотности к протонной в сравнении с величиной равной $N/Z,$ теоретическую оценку которого можно представить в виде [29] \

noindent погрешностей лучше согласуется фактор $f_{g}(r),$ соответствующий вероятностям $N_{nlj}$ () с мнимой частью (1).

Гало-фактор $f_{g}(r)$ ядра $^{208}$Pb, соответствующий расчетным плотностям, показан на рис. 6, б. С экспериментальными данными [30,31] в пределах

Среднеквадратичный зарядовый радиус ядра $^{208}$Pb $\bigl\langle r_\textrm{ch}^2\bigr\rangle^{1/2}=5.50$ фм, вычисленный с $N_{nlj}$ (8) с мнимой частью (2), лучше согласуется с экспериментальным значением $\bigl\langle r_\textrm{ch}^2\bigr\rangle_\textrm{exp}^{1/2}=5.5013(7)$ фм [32], чем радиус $\bigl\langle r_\textrm{ch}^2\bigr\rangle^{1/2}=5.44$ фм, вычисленный с $N_{nlj}$ (9), (1). Тем не менее даже в последнем случае достигается согласие с экспериментом в пределах 1%. Нейтронный радиус $\bigl\langle r_n^2\bigr\rangle^{1/2}=5.70$ и 5.71 фм, вычисленный с $N_{nlj}$ (8) с мнимой частью (2) и $N_{nlj}$ (9) с мнимой частью (1) соответственно, хорошо согласуется с экспериментальным значением $\bigl\langle r_n^2\bigr\rangle_\textrm{exp}^{1/2}=5.7833{_-0.18}^{+0.16}$ фм [33], полученным с высокой точностью почти полностью модельно методом при обработке данных эксперимента по упругому рассеянию электронов, нарушающему четность. Расчетная толщина нейтронного скина $\Delta r_{np}=\bigl\langle r_\textrm{n}^2\bigr\rangle^{1/2}-\bigl\langle r_p^2\bigr\rangle^{1/2},$ соответствующая $N_{nlj}$ (8) с мнимой частью (2) и $N_{nlj}$ (9) с мнимой частью (1), составила 0.26 и 0.32 фм соответственно. Экспериментальные значения толщины скина лежат в интервале от $\Delta r_{np}=0.15({\pm}\,0.03)_\textrm{stat}(_{-0.03}^{+0.01})_\textrm{sys}$ фм [34] до $\Delta r_{np}=0.33_{-0.18}^{+ 0.16}$ фм [33]. Полученные значения $\Delta r_{np}$ близки к результатам ряда расчетов в рамках нерелятивистских и релятивистских моделей среднего поля [35,36].

Хорошее согласие расчетов по ДОМ с параметрами, ряд которых был заимствован из глобальных параметров [10], с имеющимися экспериментальными данными для дважды магического изотопа $^{208}$Pb позволяет ставить задачу предсказательных расчетов эволюции одночастичной структуры и, в частности, эволюции частично щели нестабильных изотопов Pb. Исследуемые в рамках сферической версии ДОМ изотопы были нами ограничены числами нейтронов $N=92, 94$ и ${118}\le N\le188,$ для которых предсказываемые значения параметра квадрупольной деформации $\beta_2$ [12,13] не превышают 0.2.

Мы воспользовались глобальными параметрами [10] для мнимой части ДОП, а также для кулоновского и спин потенциалов. При этом параметр $E_p$ был определен согласно (3). Геометрические параметры $r_\textrm{HF}$, $a_\textrm{HF}$ были выбраны равными $r_{V}$, $a_{V}$ [10]. Силовой параметр $V_\textrm{HF}$ находился из описания энергии $E_\textrm{F}$. Эволюция протонных одночастичных энергий, вычисленная с такими параметрами ДОП, показана на рис. 7, а. Отметим, что в ДОП отсутствует явный учет тензорного члена нуклон взаимодействия, с которым во многом связывают эволюцию структуры ядер вблизи границ нуклонной стабильности. Тем не менее мы наблюдаем эволюцию некоторых уровней, в частности $1i_{13/2}$ опускается с ростом $N$ быстрее, чем $2f_{7/2}$ и $1h_{9/2}$; то же самое можно сказать об уровнях $2d_{5/2}$, $1h_{11/2}$ и уровнях $1g_{9/2},~2p_{1/2}$.

Расчет по ДОМ предсказывает увеличение частично протонной щели $G_p$ при уменьшении числа нейтронов (рис. 7, б). В случае замыкания оболочки ${Z=82}$ частично протонная щель $G_p$ может быть сопоставлена с разностью энергий отделения $\Delta S_p=[S_p(Z{=}82,N)-S_p(Z{=}83,N)].$ На рис. 8 показана величина $\Delta S_p(N)$, определенная по данным АМЕ12 [11] и массовых моделей HFB-24 [12], KTUY05 [13. Также на рисунке представлены линейные аппроксимации этих данных. Оцененные данные $\Delta S_p^\textrm{AME12}$ демонстрируют некоторый подъем в области $N<114.$ Но в целом интервал чисел нейтронов, для которых есть данные $\Delta S_p^\textrm{AME12},$ не позволяет надежно предсказать тенденции изменения $\Delta S_p(N)$ при приближении к границе

\

noindent протонной стабильности. Предсказания в отношении $\Delta S_p(N)$ массовых моделей KTUY05 и HFB-24 отличаются. Линейная аппроксимация данных $\Delta S_p^{KTUY05}$ растет при уменьшении числа нейтронов, в то время как $\Delta S_p^\textrm{HFB-24}$ не демонстрирует выраженной тенденции к изменению при изменении числа $N$. Расчеты по ДОМ щели $G_p$ соответствуют предсказаниям массовой модели KTUY05.

В работе [17] было получено, что поверхностное поглощение $W_{d}$ протонов стабильными изотопами Sn сильнее зависит от относительного нейтронного избытка, чем $W_{d}$ [10]. Зависимость $W_d$, предложенная в [8 для ядер с ${N<Z,}$ приведет в изотопах Pb к увеличению поверхностного поглощения с уменьшением числа нейтронов по сравнению с [10] и, следовательно, к уменьшению протонной щели $G_p$ при приближении изотопов PB к границе протонной стабильности, по сравнению с показанной на рис.7, б.

Определен ДОП дважды магического ядра $^{208}$Pb. С найденными параметрами ДОП достигнуто хорошее согласие с имеющимися экспериментальными данными по одночастичным энергиям, фрагментационным ширинам как для состояний вблизи энергии Ферми, так и для глубоколежащих состояний, а также по дифференциальным сечениям упругого рассеяния, полным сечениям реакций для протонов и полным сечениям взаимодействия для нейтронов.

Расчет нейтронной и зарядовой плотностей, гало и среднеквадратичных радиусов ядра $^{208}$Pb демонстрирует пригодность для этих целей не только приближенных формул ДОМ для вероятностей заполнения $N_{nlj}$, но и формулы (9), заимствованной из теории БКШ.

Выполнен расчет эволюции протонного одночастичного спектра и энергетической частично щели $G_p$ нестабильных изотопов свинца по сферической версии ДОМ. Использование глобальных параметров [10] для мнимой части ДОП приводит к расширению щели $G_p$ при уменьшении числа нейтронов. Этот результат согласуется с предсказаниями маcсовой модели KTUY05.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта  мол_а.

\

footnotesize

\noindent Сведения об авторах

\noindent 1. Беспалова Ольга Викторовна --- канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотрудник; тел.: (495) 939-49-07, e-mail: besp@sinp.msu.ru.

\noindent 2. Климочкина Анна Александровна --- мл. науч. сотрудник; тел.: (495) 939-49-07.

\noindent 3. Коротков Александр Владимирович --- студент.

\noindent 4. Спасская Тамара Ивановна --- науч. сотрудник; тел.: (495) 939-37-63.