[section]
[section]
[section]
[section]
[section]
[1][.]
О п р е д е л е н и е #1
Математическое моделирование феноменов случайности и нечеткости в научных исследованиях. 1. Математические и эмпирические основы
Ю. П. Пытьев$^{1,2}$
$^{1}$Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова,
физический факультет, кафедра кафедра математического моделирования и информатики. Россия, 119991, Москва, Ленинские
горы, д. 1, стр. 2
$^{2}$Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова, физический факультет,
кафедра квантовой статистики и теории поля.
Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.
Рассмотрен вариант теории возможностей как математической модели
феноменов случайности и нечеткости, позволяющий моделировать как
вероятностную случайность, в том числе свойственную непредсказуемо
эволюционирующим стохастическим объектам, вероятностные модели
которых не могут быть восстановлены эмпирически, так
и невероятностную случайность (нечеткость), свойственную реальным
физическим, техническим, экономическим объектам,
человеко-машинным, экспертным системам и др.
вероятность, случайность, возможность, необходимость, нечеткость.
В этой статье рассмотрены математические и эмпирические основы
варианта теории мер возможности, необходимости и интегрирования
относительно этих мер, ориентированного на математическое
моделирование вероятностной и невероятностной случайности
и на приложения в научных исследованиях как альтернативы теории
вероятностей. Вариант существенно отличается от известных
вариантов теории возможностей
[Fuzzy_Sets,Orlovsky,N10,Pospelov,duboisprad,B10,cooman1,cooman2,cooman3,
B2,Wolkenhauer,N22,
B19,N28,B5,newed11,B16,B6,N38,N40,GeorgeJKlir]. Его основы
опубликованы в серии статей в ВМУ в 1997--1999 гг.
[B1,B7,new20star,new20otherstar,B11,B8,B15,newpytjevstarstarstar,newpytjevstarstarstarstar],
итоги исследований и новые результаты представлены
в монографиях [N26,poss2] и в настоящей статье.
bullet$ Однако при моделировании реальных физических, технических,
социальных, экономических и других сложных и, как правило,
эволюционирующих объектов, человеко [N22]
и экспертных систем вероятностные методы де-факто оказались
неэффективными. Причиной неэффективности, как правило, является
неадекватность вероятностного моделирования. Дело в том, что
$\bullet$ при эмпирическом восстановлении вероятностной модели
заведомо стохастического объекта (СТ. О.) возникают
принципиальные трудности, когда в процессе наблюдений его
вероятностная модель непредсказуемо изменяется, и ее эмпирическая
оценка оказывается неадекватной. Более того, вероятностную модель
произвольно эволюционирующего СТ. О. восстановить
эмпирически невозможно, если наблюдения за объектом не позволяют
восстановить модель его эволюции [kashrao].
Этим объясняется интерес к невероятностным моделям случайности
и неопределенности
[1,zadeh,Dempster,Dempster1,Savage,B9,Shafer,Fuzzy_Sets,Orlovsky,N10,Pospelov,duboisprad,
newed01,N16,B10,cooman1,cooman2,cooman3,N17,B2,Wolkenhauer,N22,N18,N23,B19,N24,N25,N26,N28,newed02,
B12,newed03,N33,newed04,newed05,newed06,N34,newed07,newed08,N35,newed10,B5,newed11,B16,B14,B6,N45,
pppp,N38,N40,poss2,pytyev_subj,pytyev_subj_eng,kashrao,new,book61,GeorgeJKlir,xefding,B1,B7,
new20star,new20otherstar,B11,B8,B15,newpytjevstarstarstar,newpytjevstarstarstarstar]
и к робастным статистическим процедурам анализа данных
[new56,new_orlov,new58].
$$1\geqslant pr_{1}\geqslant pr_{2}\geqslant\ldots>0,\quad pr_{1}+pr_{2}+\ldots=1.
\label{eq:5sep1}
$$
bullet$
знание одной лишь упорядоченности $pr_1,pr_2,\ldots$
(), feq:5sep1 не позволяет охарактеризовать свойства
$\mbox{СТ.\,О.}$ в терминах теории вероятностей, а feq:5sep1
$$\label{eq:ineqdefo:4}
1 \geqslant p_1\geqslant p_2\geqslant\ldots\geqslant 0,
$$
Обозначим $\mathbb{P}$ класс возможностей, удовлетворяющих
условию feq:ineqdefo:4,
$\mathcal{P}=\{(\Omega,\mathcal{P}(\Omega),rP)$, $rP\in\mathbb{P}\}$ --- класс
пространств c возможностью, как возможностную
модель $\mbox{СТ.\,О.}$, $\mathbb{P}_{(e)}$ --- класс взаимно
эквивалентных возможностей, упорядоченность значений
$\mathrm{p}_{i}=\mathrm{P}(\{\omega_{i}\})$, $i=1,2,\ldots,$
которых определена двоичным числом $e =0{,}e_1
e_2\ldots\in(0,1)$; понятно, что $\mathbb{P}_{(e)}\bigcap\mathbb{P}_{(e')}=
\varnothing,$если ${e\ne e',}$ и
$$\label{eq:ineqdefo:5}
\mathbb{P} = \bigcup_{e\in(0,1)}\mathbb{P}_{(e)}. %,
$$
$$\gamma([0,1])=[0,1],\;
\gamma(a+ b)=\gamma(a)+\gamma(b),\;
\gamma(a\times b) ={}\\{}= \gamma(a)\times\gamma(b).
\label{eq:6sep1}
$$
Пусть $0\leqslant x<y\leqslant 1$ и последовательность $\gamma^{}_{n}(\dot)\in\Gamma$,
$n = 1, 2,\ldots$ удовлетворяет условиям: $\gamma^{}_{n}(z)\xrightarrow[n\to\infty]{}0$, $0\leqslant z \leqslant x$,
$\gamma^{}_{n}(z)=z$, $y\leqslant z\leqslant 1$.
Тогда
$\forall\,x<y$ $\gamma^{}_{n}(x + y)=\gamma^{}_{n}(x) + \gamma^{}_{n}(y)=\gamma^{}_{n}(x) + yx \rightarrow[n\to\infty]{}y
\Rightarrow x + y=\max\{x,y\}$,
а если $\gamma^{}_{n}(z)=z$, $0\leqslant z\leqslant x$, $\gamma^{}_{n}(z)\xrightarrow[n\to\infty]{}1$, $y\leqslant z\leqslant 1$,
то $\gamma^{}_{n}(x \times y)=\gamma^{}_{n}(x)\times\gamma^{}_{n}(y)=x\times\gamma^{}_{n}(y)\xrightarrow[n\to\infty]{}x\Rightarrow x\times y=\min\{x,y\}.$
$\Box$
$$\label{GrindEQ__18_}
\begin{gathered}
\dot{v}=g\sin \alpha ,\quad \dot{\alpha }=\pm \frac{g}{v} \cos \alpha ,\\ \dot{\phi }=\frac{v}{r} \sin \left(\alpha -\phi \right), \quad \dot{r}=v\cos\left(\alpha -\phi \right).\end{gathered}
$$
$$\label{GrindEQ__26_}
\begin{gathered} \dot{v}=g\sin \alpha ,\quad \dot{\alpha }=p\frac{g}{v} \cos \alpha ,\\ \dot{\phi }=\frac{v}{r} \sin \left(\alpha -\phi \right),\quad \dot{r}=v\cos\left(\alpha -\phi \right).
\end{gathered}$$
Первые два уравнения дают нам решение в виде квадратур. В самом деле, из них следует, что
$$ \label{GrindEQ__27_}v\left(\alpha \right)=\frac{C_{1} }{\left|\cos \alpha \right|^{\frac{1}{p} } }, $$
где $C_{1}$ --- константа интегрирования. Подстановка fGrindEQ__27_ в первое уравнение системы fGrindEQ__26_ приводит нас к неявному решению в виде
$$ \label{GrindEQ__28_}\frac{pgt}{C_{1} } =\int _{\pi/2 }^{\alpha }\frac{d\alpha }{\left|\cos \alpha \right|^{1+\frac{1}{p} } } .
$$
$$I^K_n &= \frac{d_n^2}{(2n+1)(2\gamma_n)^{2n+1}} \times{} \nonumber\\
&\quad{}\times \bigg[\frac{1}{4}\Gamma(2n+3,0,2\gamma_n R)-n\Gamma(2n+2,0,2\gamma_n R) +{}\\[-6pt]
&\qquad\qquad{}+ n(2n+1)\Gamma(2n+1,0,2\gamma_n R)\bigg], \nonumber\\
I_n^\Sigma &= \frac{d_n^2}{2n+1}R^{2n+2}e^{-2\gamma_n R},
\label{eq:13}$$
$$\label{eq:17}\begin{cases}
\displaystyle \left(\!-\frac{1}{2}\Delta_{r}-\frac{\alpha}{|\vec{r}-\vec{a}|}\right)\Psi = E\Psi, \\[9pt]
\displaystyle \left(\frac{\partial}{\partial r}+\lambda\!\right)\Psi\biggr|_{r=R}=0,
\end{cases}$$
Рис. 1. Схематическое изображение геометрии задачи
This is our small matrix: $\begin{smallmatrix}
\alpha& \beta^{*}\\
\gamma^{*}& \delta
\end{smallmatrix}$ we can use it inline !
таблицы
Таблица .
Реакция | Порог реакции, | Количество линий | Относительный выход |
| МэВ | в спектре$^{\dag }$ | реакции |
| | | Эксперимент | Расчет [4] | Расчет [5] |
$^{116}$Cd($\gamma $, n)$^{115}$Cd | 8.1 | 4 | 0.87 | | 0.866 |
$^{116}$Cd($\gamma $, n)$^{115}$Cd* | 8.3 | 1 | 0.13 | [0cm][0cm]1 | 0.134 |
$^{112}$Cd($\gamma $, n)$^{111}$Cd* | 9.2 | 2 | 0.13 | - | 0.077 |
$^{112}$Cd($\gamma $, p)$^{111}$Ag | 9.4 | 2 | 0.029 | 0.052 | 0.0022 |
$^{112}$Cd($\gamma $, pn)$^{110}$Ag* | 17.8 | 15 | 0.00049 | - | 0.0003 |
$^{\dag }$Количество линий, по которым проводился анализ выходов |
- Choquet G. // Ann. Inst. Fourier. 1953/1954. 5. P. 131.
- Zadeh A. // Information and Control. 1965. 8. P. 235.
- Dempster A.P. // Ann. Math. Statist. 1967. 38. P. 325.
- Dempster A.P. // J. Roy Statist. Soc. 1968. B30. P. 205.
- Savage L.J. The Foundations of Statistics, Dover. N. Y., 1972.
- Sugeno M. The Theory of Fuzzy Integrals and Its Applications: Ph.D. Thesis. Tokyo Institute of Technology. Tokyo, 1974.
- Shafer G. A mathematical theory of evidence. Princeton; N. J.: Princeton University Press, 1976.
- Zadeh L.A. // Fuzzy Sets and Systems. 1978. P. 3.
- Орловский С.А. Проблемы принятия решения при нечеткой исходной информации. М.: Наука, 1981.
- Fuzzy Sets and Possibility Theory. Recent Developments / Ed, by P. P. Yager. N. Y., Oxford, Toronto: Pergamon Press, 1982.
- Нечеткие множества в моделях управления и искуственного интелекта / Под ред. Д. А. Поспелова. М.: Наука, 1986.
- Dubois D., Prade H. Theorie des Possibilites. Paris; Milano; Barcelona; Mexico: Masson, 1988.
( Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. М.: Радио и связь, 1990.)
- Pyt'ev Yu.P. // Pattern Recognition and Image Analysis. 1994. 4, N 2. P. 177.
- Pyt’ev Yu.P. // Pattern Recognition and Image Analysis. 1995. 5, N 1. P. 13.
- de Cooman G., Kerre E.E. // Fuzzy Sets and Systems. 1996. 77, N 2. P. 207.
- de Cooman G. // Int. J. of General Systems. 1997. 25. P. 291.
- de Cooman G. // Int. J. of General Systems. 1997. 25. P. 325.
- de Cooman G. // Int. J. of General Systems. 1997. 25. P. 353.
- Pyt’ev Yu.P. // Pattern Recognition and Image Analysis: Advances in Mathematical Theory and Applications. 1997. 7, N 3. P. 338.
- Dubois D., Prade H. Possibility theory: qualitative and quantitative aspects / Quantified Representation of Uncertainty and Imprecision / Ed. by D. M. Gabbay, P. Smets. Kluwer Academic Publishers, 1998. V. 1 of Handbook of Defeasible Reasoning and Uncertainty Management Systems. P. 169.
- Wolkenhauer O. Possibility Theory with Applications to Data Analysis. Research Studies Press, 1998.
- Кнедзи А., Дзюндзо В., Сокукэ И. и др. Прикладные нечеткие системы / Под ред. Т. Тэрано, К. Асаи, М. Сугэно. М.: Мир, 1993.
- Pyt’ev Yu.P. // Pattern Recognition and Image Analysis: Advances in Mathematical Theory and Applications. 1998. 8, N 1. P. 1.
- Pyt’ev Yu.P. // Pattern Recognition and Image Analysis. 1999. 9, N 3. P. 416.
- Dubois D., Nguyen H. T., Prade H. Possibility Theory, Probability and Fuzzy Sets: Misunderstandings, Bridges and Gaps / Fundamental of Fuzzy Sets / Ed. by D. Dubois, H. Prade. Kluwer Academic Publishers, Boston, 2000. P. 343.
- Pyt’ev Yu.P. // Pattern Recognition and Image Analysis. 2000. 10, N 1. P. 43.
- Pyt’ev Yu.P. // Pattern Recognition and Image Analysis. 2000. 10, N 4. P. 447.
- Пытьев Ю.П. Возможность. Элементы теории и применения. М.: Эдиториал УРСС, 2000.
- Dubois D., Prade H., Sandri S. On Possibility/Probability Transformation // Proceedings of Fourth IFSA Conference. --- Kluwer Academic Publ., 1993. P. 103.
- D'yakonova I.V., Matveeva T.V., Pyt'ev Yu.P. // Pattern Recognition and Image Analysis. 11, N 4. 2001. P. 711.
- Пытьев Ю.П. // Интеллектуальные системы. 2001. 6, С. 25.
- Pyt'ev Yu.P. // Pattern Recognition and Image Analysis. 2002. 12, N 2. P. 107.
- Pyt’ev Yu.P., Zhuchko O.V. // Pattern Recognition and Image Analysis. 2002. 12, N 2. P. 116.
- Matveeva T.V., Pyt'ev Yu.P. // Pattern Recognition and Image Analysis. 2002. 12, N 3. P. 316.
- Pyt'ev Yu.P. // Pattern Recognition and Image Analysis. 2002. 12, N 4. P. 376.
- Пытьев Ю.П., Мазаева И.В. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2002. С. 20.
- Pyt’ev Yu.P., Zhivotnikov G.S. // Pattern Recognition and Image Analysis. 2004. 14, N 1. P. 60.
- Pyt'ev Yu.P. // Pattern Recognition and Image Analysis. 2004. 14, N 4. P. 529.
- Пытьев Ю.П. // Интеллектуальные системы. 2004. 8, вып. 1--4. С. 147.
- Pyt’ev Yu.P. // Pattern Recognition and Image Analysis. 2004. 14, N 4. P. 541.
- Pyt'ev Yu.P. // Pattern Recognition and Image Analysis. 2006. 16, N 3. P. 1.
- Dubois D. // Computational Statistics and Data Analysis. 2006. 51. P. 47.
- De Campos G., Huete J.F. // Int. J. Gen. Syst. 2001. 30, N 3. P. 309.
- Masson M., Denoeux T. // Fuzzy Sets and Systems. 2006. 157. P. 319.
- Пытьев Ю.П. // Интеллектуальные системы. 2007. 11, С. 277.
- Dubois D., Prade H. Formal representations of uncertainty // Decision-Making Process / Ed. by D. Bouyssou, D. Dubois, M. Pirlot, H. Prade. L.: Wiley-ISTE, 2009.
- Папилин С.С., Пытьев Ю.П. // Математическое моделирование. 2010. 22, С. 144.
- Papilin S.S., Pyt’ev Yu.P. // Mathematical Models and Computer Simulation. 2011. 3, issue 4. P. 528.
- Yager R.R. // IEEE Transactions on Fuzzy Systems. 2012. February. 20, N 1. P. 46.
- Yager R.R. // IEEE Transactions on Fuzzy Systems. 2012. June. 20, N 3. P. 526.
- Пытьев Ю.П. Возможность как альтернатива вероятности. М.: Физматлит, 2007; 2-е изд., перераб. и доп., 2016.
- Пытьев Ю.П. // Математическое моделирование. 2013. 25, С. 102.
- Pyt'ev Yu. // Mathematical Modeling and Computer Simulations. 2013. 5, N 6. P. 538.
- Кашьяп Р.Л., Рао А.Р. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным. М.: Наука, 1983.
- Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. М.: Физматлит, 1985.
- Пытьев Ю.П. // Автоматика и телемеханика. 2010. С. 131.
- George J.K. Uncertainty and Information: Foundations of Generalized Information Theory. Hoboken, N. J.: John Wiley, 2006.
- Hoeffding W. // J. Amer. Statist. Assoc. 1963. 58, N 301. P. 213.
- Пытьев Ю. П. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем. М.: Наука, 2002.
Изд. 3-е, перераб. и доп. М.: Физматлит, 2011.
- Хьюбер Дж.П. Робастность в статистике. 1984. М.: Мир.
- Орлов А.И. Прикладная статистика. М.: Экзамен, 2004.
- Новые направления в обработке данных. studopedia.ru
- Пытьев Ю.П. // Матем. сб. 1983. 118 (160), (5). С. 19.
- Демьянов В.Ф., Малозёмов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.
- Пытьев Ю.П. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1997. С. 3.
(Pyt'ev Yu.P. // Moscow Univ. Phys. Bull. 1997. 52. N 3. P. 1.)
- Пытьев Ю.П. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1997. С. 3.
- Пытьев Ю.П. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1997. С. 3.
- Пытьев Ю.П. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1998. C. 3.
(Pyt'ev Yu.P. // Moscow Univ. Phys. Bull. 1998. N 1. P. 1.)
- Пытьев Ю.П. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1998. С. 3.
(Pyt'ev Yu.P. // Moscow Univ. Phys. Bull. 1998. N 2. P. 1.)
- Пытьев Ю.П. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1999. С. 3.
(Pyt'ev Yu.P. // Moscow Univ. Phys. Bull. 1999. 54, N 5. P. 1.)
- Пытьев Ю.П. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1999. С. 3.
(Pyt'ev Yu.P. // Moscow Univ. Phys. Bull. 1999. 54, N 6. P. 1.)
- Пытьев Ю.П. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1998. С. 3.
(Pyt'ev Yu.P. // Moscow Univ. Phys. Bull. 1998. N 6. P. 1.)
- Пытьев Ю.П. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1999. С. 3.
(Pyt'ev Yu.P. // Moscow Univ. Phys. Bull. 1999. 54, N 1. P. 1.)
- De Cooman G., Aeyels D. // IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics. 2000. 30. P. 124.
- Nguyen H.T., Bouchon-Meunier B. // Soft Computting. 2003. 8. P. 61.
- Pyt'ev Yu.P., Mazaeva I.V. // Moscow Univ. Phys. Bull. 2002. 57, N. 5. P. 27.
- Пытьев Ю.П. Математические методы субъективного моделирования в научных исследованиях. 1. Математические и эмпирические основы // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. (подготовлена к публикации).
- Pyt'ev Yu.P. // Automation and Remote Control. 71, N 3. P. 486.
Mathematical modeling of randomness and fuzziness phenomena in scientific studies.
I. Mathematical and empirical foundations
Yu. P. Pyt'ev
Department of Mathematical Modelling and Informatics, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University,
Moscow 119991, Russia.
E-mail: yuri.pytyev@physics.msu.ru, yuri.pytyev@gmail.com.
The possibility theory as a mathematical model of randomness and fuzziness phenomena is considered
in a variant that enables the modeling of both probabilistic randomness, including that inherent in
unpredictably evolving stochastic objects whose probabilistic models cannot be empirically reconstructed
and nonprobabilistic randomness (fuzziness) inherent in real physical, technical, and economical objects,
human–machine and expert systems, etc. Some principal distinctions between the considered variant and the
known possibility theory variants, in particular, in mathematical formalism and its relationship with probability
theory, substantive interpretation, and applications exemplified by solving the problems of identification
and estimation optimization, empirical reconstruction of a fuzzy model for a studied object, measurement
data analysis and interpretation, etc. (in the paper “Mathematical Modeling of Randomness and Fuzziness
Phenomena in Scientific Studies. II. Applications”) are shown.
Keywords: probability, randomness, possibility, necessity, fuzziness.
PACS: 07.05.Kf.
Received 22 June 2016.
English version:
Moscow University Physics Bulletin. 72, No. Pp.
Сведения об авторе
Пытьев Юрий Петрович --- доктор физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой;
тел.: (495) 939-13-32, e-mail: yuri.pytyev@physics.msu.ru, yuri.pytyev@gmail.com.
$$\forall\,A\in{\cal P}(\Omega)\ \
\mathrm{P}(A)\stackrel{\text{def}}{=}{+}\limits_{i{:}\omega_{i}\in A}\mathrm{p}_{i}
\stackrel{\text{def}}{=} \sup\limits_{i{:}\omega_{i}\in A}\mathrm{P}(\{\omega_{i}\}),\\
A\ne\varnothing,\ \
\mathrm{P}(\varnothing)\stackrel{\text{def}}{=}0,\ \
\mathrm{P}(\Omega)=\mathop{+}\limits_{i=1}^{\infty}\mathrm{p}_{i}\stackrel{\text{def}}{=}1=\mathrm{p}_{1},
\label{eq8_001_star}
$$
Возможность $\mathrm{P}{({\cdot})}{\,:}$ ${\cal P}(\Omega)\to{\cal L}$,
где $\Omega=\{\omega_{1},\omega_{2},\ldots\}$, определим (эвристически, см. определения 4.1)
в терминах ее численных значений
$$\forall\,A\in{\cal P}(\Omega)\ \
\mathrm{P}(A)\stackrel{\text{def}}{=}\plus\limits_{i{\,:}\:\omega_{i}\in A}\mathrm{p}_{i}
\stackrel{\text{def}}{=} \sup\limits_{i{\,:}\:\omega_{i}\in A}\mathrm{P}(\{\omega_{i}\}),\\
A\ne\varnothing,\ \
\mathrm{P}(\varnothing)\stackrel{\text{def}}{=}0,\ \
\mathrm{P}(\Omega)=\mathop{\plus}\limits_{i=1}^{\infty}\mathrm{p}_{i}\stackrel{\text{def}}{=}1=\mathrm{p}_{1},
\label{eq8_001_star}
$$
подобно вероятности $\mathrm{Pr}{({\cdot})}{\,:}$ ${\cal P}(\Omega)\to[0,1]$
$$\forall\,A\in{\cal P}(\Omega)\ \
\mathrm{Pr}(A)=\sum\limits_{i{\,:}\:\omega_{i}\in
A}\mathrm{pr}_{i}=\sum\limits_{i{\,:}\:\omega_{i}\in A}
\mathrm{Pr}(\{\omega_{i}\}),\\
A\ne\varnothing,\ \
\mathrm{Pr}(\varnothing)=0,\ \
\mathrm{Pr}(\Omega)=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\mathrm{pr}_{i}\stackrel{\text{def}}{=}1.
\tag{\ref{eq8_001_star}$^\ast$}
\label{eq8_001_star_star}
$$
Согласно () $\forall\,A,B \in \mathcal{P}(\Omega)$: $A\subset B\Rightarrow \mathrm{P}(A)\leqslant \mathrm{P}(B)$,
$\rP(A\cup B) = \rP(A) \plus \rP(B) $, $\rP(A\cap B) \leqslant \rP(A) \btimess \rP(B)$, $\forall\,\mathrm{P}(\dot){\,:}$ ${\cal P}(\Omega)\to{\cal L}$
либо $\mathrm{P}(A)>\mathrm{P}(B)$, либо $\mathrm{P}(A)<\mathrm{P}(B)$, либо $\mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(B)$.
Поскольку возможности противоположных событий связывает равенство
$\P(\Omega)=\P(A\cup(\Omega\setminus A))=\P(A)\plus\P(\Omega\setminus A)=1$,
вообще говоря, не определяющее $\mathrm{P}(\Omega\setminus A)$ при заданном $\mathrm{P}(A)$,
$A\in{\cal P}(\Omega)$, охарактеризуем каждое событие значениями двух мер ---
возможности $\P({\cdot}){\,:}$ ${\cal P}(\Omega)\to \calL$ и необходимости
$\Noss({\cdot}){\,:}$ ${\cal P}(\Omega)\to \widehat{\calL}$, принимающей значения
в шкале $\widehat{\calL}=(\widehat{[}\,\widehat{0},\widehat{1}\,\widehat{]},\widehat{\leqslant},\widehat{\plus},\widehat{\btimess})$,
в которой $a\,\widehat{\leqslant}\,b\Longleftrightarrow a\geqslant b$, $\widehat{0}=1$, $\widehat{1}=0$,
$\widehat{0}\,\widehat{\leqslant}\,\widehat{1}$, $\widehat{[}\,\widehat{0},\widehat{1}\,\widehat{]}=[0,1]$,
$a\widehat{\mbox{$$}}b\stackrel{\text{def}}{=}\min\{a,b\}$,
$a\widehat{\btimess}b\stackrel{\text{def}}{=}$
$\stackrel{\text{def}}{=}\max\{a,b\}$,
$a,b\in\widehat{[}\,\widehat{0},\widehat{1}\,\widehat{]}$, и подобно () $\forall\,\gamma{({\cdot})}\in\Gamma\;$
$\forall\,a,b\in\widehat{[}\,\widehat{0},\widehat{1}\,\widehat{]}$
$$\gamma(\widehat{[}\,\widehat{0},\widehat{1}\,\widehat{]})=\widehat{[}\,\widehat{0},\widehat{1}\,\widehat{]},\ \
\gamma(a\widehat{\plus}b)=\gamma(a)\widehat{\plus}\gamma(b),\\
\gamma(a\widehat{\btimess}b)=\gamma(a)\widehat{\btimess}\gamma(b),
\label{eq:6sep1_star}
$$
поскольку $\overline{\Gamma}$ --- группа автоморфизмов
и шкалы $\widehat{\cal L}$, $\widehat{\gamma}{\,:}$ $\widehat{\cal L}\to\widehat{\cal L}$,
$\widehat{\gamma}\in\overline{\Gamma}$.
Определим согласованную с упорядоченностью в feq:ineqdefo:4 упорядоченность
$$0\leqslant n_{1}\leqslant n_{2}\leqslant\ldots
\label{eq:ineqdefo:4_star}
$$
значений
$n_{i}\stackrel{\text{def}}{=}\Noss(\Omega\setminus\{\omega_{i}\}),$
где $n_i$ --- шанс не наблюдать $\omega_i$ в результате любого испытания,
$i=1,2,\ldots,$ и необходимость $\mathrm{N}(\dot){\,:}$ ${\cal
P}(\Omega)\to\widehat{\cal L}$: $\forall\,A\in{\cal P}(\Omega)$
$$\begin{gathered}
\Noss(A)\stackrel{\text{def}}{=}\mathop{\widehat{\plus}}\limits_{i{\,:}\:\omega_{i}\in\Omega\setminus A}n_{i}
\stackrel{\text{def}}{=}\inf\limits_{i{\,:}\:\omega_{i}\in\Omega\setminus A}
\Noss(\Omega\setminus\{\omega_{i}\}),\\
A\ne\Omega,\ \
\mathrm{N}(\Omega)\stackrel{\text{def}}{=}1,\ \
\mathrm{N}(\varnothing)\stackrel{\text{def}}{=}0=\mathrm{n}_{1},
\end{gathered}
\label{eq:ineqdefo:4_star2}
$$
характеризующую событие
$A=\bigcap\limits_{i{\,:}\:\omega_{i}\in\Omega\setminus A}\bigl\{\Omega\setminus\{\omega_{i}\}\bigr\}$
как противоположное ${\Omega\setminus A}$.
Класс необходимостей, удовлетворяющих (),
обозначим $\mathbb{N}$. Конкретную упорядоченность
в () зададим
$\widehat{e}=0{,}\widehat{e}_{1}\widehat{e}_{2}\ldots\in(0,1)$, $\widehat{e}_{i}=1$,
если $n_{i}<n_{i+1}$, $\widehat{e}_{i}=0$, если $n_{i}=n_{i+1}$,
$i=1,2,\ldots$ Обозначим $\mathbb{N}_{(\widehat{e})}$ класс взаимно
эквивалентных необходимостей, упорядоченность значений $n_{i}$,
$i=1,2,\ldots,$ которых определена числом $\widehat{e}$. При этом
подобно ()
$\mathbb{N}=\!\!\bigcup\limits_{\widehat{e}\in(0,1)}\!\!\mathbb{N}_{(\widehat{e})},$
где $\mathbb{N}_{(\widehat{e})}\cap
\mathbb{N}_{(\widehat{e}')}=\varnothing$, $\widehat{e}\ne\widehat{e}'$, $\widehat{e},\widehat{e}'\in(0,1)$.
В общем случае нечеткая модель ---
пространство $(\Omega,{\cal
P}(\Omega),\mathrm{P},\mathrm{N})$ с двумя мерами,
называемое далее нечетким пространством, связь $\mathrm{P}$
и $\mathrm{N}$ определяется свойствами моделируемого
объекта. В частности, в нечеткой модели СТ. О. $\Poss$
и $\Noss$ максимально согласованы с вероятностью
$\mathrm{Pr}$ в его модели $(\Omega,{\cal
P}(\Omega),\mathrm{Pr})$, см. п. 2.1,
и оказываются дуально согласованными (дуально
изоморфными) [poss2]: $\exists\,\theta{({\cdot})}\in\Theta$
$\:\forall \,A\in{\cal P}(\Omega)$,
$\Noss(A)=\theta(\P(\Omega\setminus A))$,
$n_{i}=\Noss(\Omega\setminus\{\omega_{i}\})=\theta(\P(\{\omega_{i}\}))=\theta(\p_{i})$,
$i=1,2,\ldots,$ где $\Theta$ --- класс непрерывных
функций\theta(\dot)\in\Theta$
\text{необходимость}(A) = \text{невозможность}(\Omega
\setminus A)$ $\theta({\cdot}){\,:}$ $[0,1]\to[0,1]$, строго
монотонных, $\theta(0)=1$, $\theta(1)=0$, а если при этом
$\mathrm{P}\in\mathbb{P}_{(e)}$,
$\mathrm{N}\in\mathbb{N}_{(\widehat{e})}$, то $e=\widehat{e}$
и $\mathrm{P}(A) < \mathrm{P}(B) \Leftrightarrow \mathrm{N}(A) <
\mathrm{N}(B)$, $A,B\in{\cal P}(\Omega)$.
Первые публикации по п. 1.2, 1.3 --- [N17,N26,B1,B7,B1]. Шкала
значений возможности и группа ее автоморфизмов в известных автору
работах не используются. В <<качественной>> теории возможностей
в [B2] операции $\max$ и $\min$ постулируются,
а возможность определена как в feq8_001_star.
В <<количественной>> теории возможностей [B2, B5, B6]
операции определены как $\max$ и обычное умножение, как
во втором варианте теории возможностей [N26].
В [Orlovsky,N10,Pospelov,duboisprad,B2, B5]
постулируется $\mathrm{N}(A) \stackrel{\text{def}}{=} 1 -
\mathrm{P}(X \setminus A)$, $A\in{\cal P}(\Omega)$. Сравнительный
анализ известных вариантов теории см. в [GeorgeJKlir].
Каждый автоморфизм $\gamma{\,:}$ ${\cal L}\to{\cal L}$,
$\widehat{\gamma}{\,:}$ $\widehat{\cal L}\to\widehat{\cal L}$,
$\gamma,\widehat{\gamma}\in\overline{\Gamma}$, определяет
изоморфизм $\gamma{\,:}$ ${\cal L}\to\gamma{\cal L}$,
$\widehat{\gamma}{\,:}$ $\widehat{\cal L}\to\widehat{\gamma}\widehat{\cal L}$,
где $\gamma{\cal L}$ и $\widehat{\gamma}\widehat{\cal L}$, суть
шкалы, изоморфные соответственно ${\cal L}$ и $\widehat{\cal L}$,
элементы которых суть $\gamma(a)$ и $\widehat{\gamma}(a)$,
$a\in[0,1]$, а операции $\plus$, $\btimess$ в $\gamma{\cal L}$
и $\widehat{\plus}$, $\widehat{\btimess}$
в $\widehat{\gamma}\widehat{\cal L}$ определены равенствами
() и (). Назовем шкалы
$\gamma{\cal L}$ и $\widehat{\gamma}\widehat{\cal L}$
координатными представлениями
a,\widehat{a}\in[0,1]${\cal L}$\widehat{\cal L}$
\gamma(a),\gamma(\widehat{a})\in[0,1]$
\gamma{\cal L}$\gamma\widehat{\cal L}$ шкал ${\cal L}$
и $\widehat{\cal L}$,
$\gamma,\widehat{\gamma}\in\overline{\overline{\Gamma}}$, где
$\overline{\overline{\Gamma}}$ далее обозначает группу
изоморфизмов.
$\bulletet$ Поскольку все шкалы $\gamma{\cal L}$,
$\gamma\in\overline{\overline{\Gamma}}$, и все шкалы
$\widehat{\gamma}\widehat{\cal L}$,
$\widehat{\gamma}\in\overline{\overline{\Gamma}}$, взаимно
изоморфны, то любой исследователь может выбрать любую пару
шкал $\gamma{\cal L}$ и $\widehat{\gamma}\widehat{\cal L}$,
$\gamma,\widehat{\gamma}\in \overline{\overline{\Gamma}}$,
для формулировки нечеткой модели. Сформулированные в парах шкал
${\cal L}'\!$, $\widehat{\cal L}'$ и ${\cal L}''\!$, $\widehat{\cal L}''$
$\bulletet$ модели считаются эквивалентными, если существует
пара шкал ${\cal L}=\gamma'{\cal L}'=\gamma''{\cal L}''\!$,
$\widehat{\cal L}=\widehat{\gamma}'\widehat{\cal L}'=\widehat{\gamma}''\widehat{\cal L}''\!$,
$\gamma'\!,\gamma''\!,\widehat{\gamma}'\!,\widehat{\gamma}''\in\overline{\overline{\Gamma}}$,
в которых их формулировки совпадают.
$\bulletet$ Модели, формулировки которых не зависят от выбора
шкал $\gamma{\cal L}$ и $\widehat{\gamma}\widehat{\cal L}$,
т. е. одинаковы для всех исследователей, могут быть
содержательно истолкованы.
Этот аспект теории возможностей, аналогичный принципу
относительности в физике, определил содержательную
интерпретацию возможности и необходимости, математические методы
и алгоритмы их эмпирического восстановления, математический
формализм теории и области ее приложений [poss2].
Первые публикации по пункту 1.4 --- [N24,N26,B8].
Автору неизвестны публикации, в которых дано подобное
определение и содержательное толкование возможности. В отличие
от моделей возможности
в [Fuzzy_Sets,N10,Pospelov,duboisprad], следующих схеме
Л. Заде [zadeh], названной в [B2,B5] <<количественной>>
теорией возможностей, в рассматриваемом варианте численные
значения $\mathrm{P}$ и $\mathrm{N}$, отличные от $0$ и $1$, как
и в <<качественной>> теории
возможностей [cooman1,cooman2,B2], не важны, существенна лишь
их упорядоченность. Рассматриваемый вариант отличается
и от <<качественной>> теории возможностей, ибо в [N24,N26],
в отличие от [cooman1,cooman2,B2], любые возможности
$\mathrm{P}{({\cdot})}$ и $\mathrm{P}'{({\cdot})}$ эквивалентны, если
$\exists\,\gamma(\dot)\in\Gamma$ $\forall\,A\in{\cal P}(\Omega)$
$\gamma(\mathrm{P}(A))=\mathrm{P}'(A)$. В п. 1.16 [poss2]
рассмотрен вариант теории возможностей, в котором группа
автоморфизмов шкал значений $\mathrm{P}$ и $\mathrm{N}$ выбрана
как подгруппа $\overline{\Gamma}$, оставляющая неподвижными
заданные интервалы в $[0,1]$, в пределах которых значения
$\mathrm{P}$ и $\mathrm{N}$ допускают содержательную
интерпретацию.
2. Стохастическая модель возможности и необходимости. Нечеткие модели вероятности
\
mathrm{P}$\mathrm{N}$\mathrm{Pr}$
Для $\Omega=\{\omega_{1},\omega_{2},\ldots\}$ согласно
упорядоченностям (), ()
и формулам () и ():
$\bull$$\forall\,A_{1}\in{\cal P}(\Omega)$, если
$\omega_{1}\in A_{1}$, то $\mathrm{P}(A_{1})=\mathrm{p}_{1}=1$,
$\mathrm{Pr}(A_{1})\in\Delta_{1}=[\mathrm{pr}_{1},1]$, где
$\Delta_{1}$ --- минимальный (по включению) интервал, содержащий
значение $\mathrm{Pr}(A_{1})$;
$\bull$$\forall\,A_{2}\in{\cal P}(\Omega)$, если
$\omega_{2}\in A_{2}$, $\omega_{1}\not \in A_{2}$, то
$\mathrm{P}(A_{2})=\mathrm{p}_{2}$,
$\mathrm{Pr}(A_{2})\in\Delta_{2}=[\mathrm{pr}_{2},1-\mathrm{pr}_{1}]$,
где $\Delta_{2}$ --- минимальный интервал, содержащий значение
$\mathrm{Pr}(A_{2})$;
$\bull$$\forall\,A_{i}\in{\cal P}(\Omega)$, если
$\omega_{i}\in A_{i}$, $\omega_{i-1}\not \in A_{i}$, $\ldots,$
$\omega_{1}\not \in A_{i}$, то $\mathrm{P}(A_{i})=\mathrm{p}_{i}$,
$\mathrm{Pr}(A_{i})\in\Delta_{i}=[\mathrm{pr}_{i},1-\mathrm{pr}_{1}-\ldots-\mathrm{pr}_{i-1}]$,
где $\Delta_{i}$ --- минимальный интервал, содержащий
$\mathrm{Pr}(A_{i})$, $i=3,4,\ldots~.$
Следовательно,
$\exists\,\breve{\gamma}(\dot)\in\breve{\Gamma}(\mathrm{Pr})\subset\breve{\Gamma}$
$\forall\,A\in{\cal P}(\Omega)$
$\mathrm{P}(A)=\breve{\gamma}(\mathrm{Pr}(A))$, где
$\breve{\Gamma}$ --- класс монотонных функций
$\breve{\gamma}(\dot){\,:}$ $[0,1]\to[0,1]$, $\breve{\gamma}(0)=0$,
$\breve{\gamma}(1)=1$, а функция ${\breve{\gamma}}{({\cdot})}$,
определяющая согласованность $\mathrm{P}$ с $\mathrm{Pr}$,
удовлетворяет условиям: ${\breve{\gamma}}(a)=\mathrm{p}_{i}$,
$a\in\Delta_{i}$, $i=1,2,\ldots~.$
Возможность $\mathrm{P}$ максимально согласована с вероятностью $\mathrm{Pr}$,
если функция ${\breve{\gamma}}({\cdot}){\,:}$ $[0,1]\to[0,1]$ выбрана так, что
$\mathrm{p}_{i}>\mathrm{p}_{i+1}$, если $\Delta_{i}\cap\Delta_{i+1}=\varnothing\Leftrightarrow f_{i}
\stackrel{\text{def}}{=}\mathrm{pr}_{1}+\ldots+\mathrm{pr}_{i-1}+2\mathrm{pr}_{i}>1$,
и $\mathrm{p}_{i}=\mathrm{p}_{i+1}$, если $\Delta_{i}\cap\Delta_{i+1}\ne\varnothing\Leftrightarrow f_{i}
\leqslant 1$, $i=1,2,\ldots;$ далее $\mathrm{Pr}\thickapprox>\mathrm{P}$
обозначает максимальную согласованность $\mathrm{P}$ c $\mathrm{Pr}$.
По такой же схеме определяется и необходимость $\mathrm{N}$,
максимально согласованная с вероятностью $\mathrm{Pr}$,
$\mathrm{Pr}\thickapprox>\mathrm{N}$, причем $\mathrm{P}$
и $\mathrm{N}$, максимально согласованные с $\mathrm{Pr}$,
дуально согласованы, см. замечание .
Согласно п. 1.2 и определению 2.1,
$\bullet$ каждому классу взаимно эквивалентных возможностей
$\mathbb{P}_{(e)}$ в () условиями
$$\begin{aligned}
e_{i}=1 &\Leftrightarrow \p_{i}>\p_{i+1} \Leftrightarrow{}\\
&\Leftrightarrow \pr_{1} + \ldots + \pr_{i-1} + 2\pr_{i}=f_{i} > 1,&\\
e_{i}=0 &\Leftrightarrow \p_{i} = \p_{i+1} \Leftrightarrow f_{i} \leqslant 1, \ \ i=1,2,\ldots,
\end{aligned}
\label{eq_0_1_12}
$$
взаимно однозначно сопоставлен класс взаимно нечетко
эквивалентных вероятностей $\PPr_{(e)},$ удовлетворяющих
условиям feq:5sep1 и (),
а разбиению feq:ineqdefo:5 класса $\mathbb{P}$ ---
разбиение класса $\PPr = \bigcup\limits_{e\in(0,1)}\PPr_{(e)}$,
$\mathbb{P}\mathrm{r}_{(e)}\cap \mathbb{P}\mathrm{r}_{(e')}=\varnothing,$ $e\ne e',$
$e,e'\in(0,1)$ ;
$\bullet$ $\forall\,\mathrm{P}\in\mathbb{P}_{(e)}$
и $\forall\,\mathrm{P}\mathrm{r}\in\mathbb{P}\mathrm{r}_{(e)}$
существует монотонно неубывающая непрерывная на $(0,1],$
зависящая от $\mathrm{Pr}$ функция
${\gamma}_{e}({\cdot}){\,:}$ $[0,1]\to[0,1]$ такая, что
$$\forall\,A\in{\cal P}(\Omega) \nonumber\\
\mathrm{P}(A)=\mathop{\plus}\limits_{i{\,:}\:\omega_{i}\in A}\mathrm{p}_{i}
= {\gamma}_{e}\Biggl(\sum_{i{\,:}\:\omega_{i}\in A}\mathrm{pr}_{i}\Biggr) = {\gamma}_{e}(\mathrm{Pr}(A)); \nonumber\\
\sup_{i{\,:}\:\omega^{}_{i}\in A}\gamma^{}_{e}(\mathrm{pr}^{}_{i})
= \gamma^{}_{e}\Biggl(\sum_{i{\,:}\:\omega^{}_{i}\in A}\mathrm{pr}^{}_{i}\Biggr)\!.
\label{eq_poss_0_1_14}
$$
Класс ${\check{\Gamma}}(\mathrm{Pr})$ функций ${\gamma}_{e}({\cdot})$ определяется вероятностью
$\mathrm{Pr}\in\mathbb{P}\mathrm{r}_{(e)}$, $e\in(0,1)$.
tPytI.91
Взаимно однозначные соответствия: а --- между
значениями $\mathrm{P}$ (${p_1=1,}$ ${p_2=1-\mathrm{pr}_1,}$
${p_3=1}-{\mathrm{pr}_1-\mathrm{pr}_2,}$ ${p_4=\mathrm{pr}_4}$)
и минимальными интервалами, содержащими значения $\mathrm{Pr}$
в п. 2.1. Штриховые линии, соединяющие области постоянных значений
возможности, дополняют их до графика функции $\gamma^{}_{e}$;
б --- между значениями $\mathrm{N}$ (${n_1=0,}$
${n_2=\mathrm{pr}_1,}$ ${n_3=\mathrm{pr}_1+\mathrm{pr}_2,}$
${n_4=1-\mathrm{pr}_4}$) и минимальными интервалами, содержащими
начения $\mathrm{Pr}$, для ${\theta(a)=1-a}$, ${a\in[0,1)}$;
$\mathrm{pr}_{i}=q/({1+q})^{i}$, ${i=1,2,3,}$
$\mathrm{pr}_{4}=1/({1+q})^{3}$, ${q=3/2}$
Доказательство следует непосредственно из определения 2.1 (см. рисунок).
Согласно замечанию 1.2 из условий
$\mathrm{Pr}\thickapprox>\mathrm{P}$,
$\mathrm{Pr}\thickapprox>\mathrm{N}$,
$\mathrm{Pr}\in\mathbb{P}\mathrm{r}_{(e)}^{}$ следует, что
$\mathrm{P}\in\mathbb{P}_{(e)}^{}$,
$\mathrm{N}\in\mathbb{N}_{(e)}^{}$
и $\exists\,\gamma^{}_{e}(\dot)\in\check{\Gamma}(\mathrm{Pr})$,
$\exists\,\theta^{}_{e}(\dot)\in\check{\Theta}(\mathrm{Pr})$
$\forall\,A\in{\cal P}(\Omega)$
$$\mathrm{P}(A)=\gamma^{}_{e}(\mathrm{Pr}(A)),\ \
\mathrm{N}(A)=\theta^{}_{e}(\mathrm{Pr}(\Omega\setminus A)), \nonumber\\
\check{\Theta}(\mathrm{Pr})=\theta\check{\Gamma}(\mathrm{Pr}),\ \
\theta(\dot)\in\Theta,
\label{eq_poss_0_1_14_star}
$$
т. е. любая вероятность
$\mathrm{Pr}\in\mathbb{P}\mathrm{r}_{(e)}$ определяет
вероятностную модель () любых
$\mathrm{P}\in\mathbb{P}_{(e)}$ и $\mathrm{N}\in\mathbb{N}_{(e)}$,
последние называются $\mathrm{Pr}$- измеримыми
и определяют нечеткую модель любой из вероятностей
$\mathrm{Pr}\in\mathbb{P}\mathrm{r}^{}_{(e)}=
\bigl\{\mathrm{Pr}\,{\in}\,\mathbb{P}\mathrm{r},\!\sup\limits_{i{\,:}\:\omega^{}_{i}\in A}\!\!\gamma^{}_{e}(\mathrm{pr}^{}_{i})
= \gamma^{}_{e}\Bigl(\sum\limits_{i{\,:}\:\omega^{}_{i}\in A}\!\!\mathrm{pr}^{}_{i}\Bigr),A\,{\in}\,{\cal P}(\Omega)\bigr\}$,
которые называются взаимно нечетко эквивалентными.
Следующий пример свидетельствует, что возможность, даже
максимально согласованная с вероятностью, передает лишь
значительные изменения вероятностей: если
$\mathrm{pr}^{}_{i}=q/(1+q)^{i}$, $i=1,2,\ldots,$
то $\forall\,i=1,2,\ldots,$ согласно (), либо
$f^{}_{i}\leqslant 1$ и $e^{}_{i}=0$, если $0<q\leqslant 1$, либо
$f^{}_{i}> 1$ и $e^{}_{i}=1$, если $q>1$, т. е. возможность
не <<реагирует>> на <<недостаточно быстрое>> убывание вероятностей
элементарных событий.
Первые публикации по п. 2 --- [N26, B12].
B [B12,poss2] связи возможности, необходимости и вероятности
существенно отличаются как от связей в <<качественной>> теории возможностей
(где их нет), так и от связей в <<количественной>> теории возможностей,
где возможность интерпретируется как верхняя вероятность,
а необходимость --- как нижняя
вероятность [B2,B19,N28,B5,N40]. Другие связи вероятности
и возможности рассмотрены в .
Связи возможности и случайного множества рассмотрены в , [decoomannew,newnguyen].
3. Событийно-частотная интерпретация и эмпирическое восстановление
$\mathrm{Pr}^{}_{1}\mbox{-},\ \ldots,\ \mathrm{Pr}^{}_{k}$-измеримых $\mathrm{P}$ и $\mathrm{N}$
Пусть в стохастической модели
$(\Omega,{\cal P}(\Omega),\mathrm{Pr}_{1})\times\ldots\times(\Omega,{\cal P}(\Omega),\mathrm{Pr}_{n})$
последовательности $n$ взаимно
независимых испытаний вероятность может произвольно изменяться
от испытания к испытанию, причем среди
$\mathrm{Pr}_{1},\mathrm{Pr}_{2},\ldots$ конечное число $k$
различных вероятностей, скажем,
$\mathrm{Pr}^{1}\in\mathbb{P}\mathrm{r},\ldots,\mathrm{Pr}^{k}\in\mathbb{P}\mathrm{r}$,
тогда в $\;2\hspace{-3.6mm}\mbox{\large$$}$
$$\mathrm{Pr}^{(n)}(A) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\mathrm{Pr}_{i}(A) = \sum\limits_{s=1}^{k}(n_{s}/n)\mathrm{Pr}^{s}(A),
\label{eq_poss_article_21}
$$
где $n_{s}/n$ --- частота, с которой вероятность $\mathrm{Pr}^{s}$
встречается в последовательности
$\mathrm{Pr}_{1},\ldots,\mathrm{Pr}_{n}$, $s=1,\ldots,k$,
$n_{1}/n+\ldots+n_{k}/n=1$. Если в ()
с увеличением $n$ частты $n_{s}/n$, $s=1,\ldots,k$,
изменяются произвольно, то значение $\mathrm{Pr}^{(n)}(A)$
произвольно <<блуждает>> в пределах интервала $[\min\limits_{1\leqslant s\leqslant k}\mathrm{Pr}^{s}(A),
\max\limits_{1\leqslant s\leqslant k}\mathrm{Pr}^{s}(A)]$и за ним при $n\to\infty$ согласно УЗБЧ $\mbox{$$\bigcirc$$}\;$
все более точно следует частота $\nu^{(n)}(A)$. В этом случае знание вероятностей
$\mathrm{Pr}^{1}(A),\ldots,\mathrm{Pr}^{k}(A)$ не позволяет оценить частоту $\nu^{(n)}(A)$,
а наблюдение за $\nu^{(n)}(A)$, $n=1,2,\ldots,$ не позволяет восстановить стохастическую модель испытаний.
\mathrm{Pr}^{1}\mbox{-},\ \ldots,\ \mathrm{Pr}^{k}$
Если $\mathrm{Pr}^{1},\ldots,\mathrm{Pr}^{k}$ взаимно нечетко
эквивалентны, т. е. если $\exists\,e\in(0,1)$: $\Pr^{1},\ldots,
\Pr^{k}\in \mathbb{P}\mathrm{r}_{(e)}$, то $\forall\,\P
\in\mathbb{P}_{(e)}$и $\forall\,\mathrm{N}\in\mathbb{N}_{(e)}$,
которые называются $\mathrm{Pr}^{1}$-,
${\ldots,}$ $\mathrm{Pr}^{k}$- измеримыми, можно дать
событийно интерпретацию, согласно которой $\exists\,N$:
$\forall\,n>N$ $\P(A)>\P(B)\Leftrightarrow \N(A)>\N(B)\Rightarrow
\nu^{(n)}(A)\stackrel{\text{\rm \scriptsize п.\,н.}}{>}\nu^{(n)}(B)$.
Пусть $\Omega=\{\omega^{}_{1},\ldots,\omega^{}_{m}\}$ и $\exists\,e\in(0,1)$ $\mathrm{Pr}^{1},\ldots,\mathrm{Pr}^{k}\in\mathbb{P}\mathrm{r}^{}_{(e)}$.
Тогда $\forall\,\mathrm{P}\in\mathbb{P}^{}_{(e)}$ $\forall\,\mathrm{N}\in\mathbb{N}^{}_{(e)}$ $\forall\,A,B\in{\cal P}(\Omega)$
$\exists \, N$ $\forall \, n>N$ $\mathrm{P}(A)>\mathrm{P}(B)\Leftrightarrow \mathrm{N}(A)>\mathrm{N}(B)\Rightarrow \nu^{(n)}(A)\stackrel{\text{п.\,н.}}{>}\nu^{(n)}(B)$.
Согласно () $\forall\,s=1,\ldots,k$ $\exists\,\gamma^{s}_{e}(\dot)\in\breve{\Gamma}(\mathrm{Pr}^{s})$
$\exists\,\theta^{s}_{e}(\dot)\in\breve{\Theta}(\mathrm{Pr}^{s})$
$\forall\,A\in{\cal P}(\Omega)$ $\mathrm{P}(A)=\gamma_{e}^{1}(\mathrm{Pr}^{1}(A))=\ldots
= \gamma_{e}^{k}(\mathrm{Pr}^{k}(A))$,
$\mathrm{N}(A)=\theta_{e}^{1}(\mathrm{Pr}^{1}(\Omega\setminus A))=\ldots=\theta_{e}^{k}(\mathrm{Pr}^{k}(\Omega\setminus A))$.
Поэтому $\mathrm{P}(A) > \mathrm{P}(B) \Leftrightarrow \mathrm{N}(A) > \mathrm{N}(B)
\Rightarrow \forall\,s=1,\ldots,k$$\mathrm{Pr}^{s}(A)>\mathrm{Pr}^{s}(B)
\Rightarrow \forall\,n=1,2,\ldots$$\mathrm{Pr}^{(n)}(A)>\mathrm{Pr}^{(n)}(B)$
и, следовательно, $\exists\, N$ $\forall\,n>N$ $\mathrm{P}(A)>\mathrm{P}(B)\Leftrightarrow
\mathrm{N}(A)>\mathrm{N}(B)\Rightarrow\nu^{(n)}(A)\stackrel{\text{п.\,н.}}{>}\nu^{(n)}(B)$.\mbox{}\hfill$\square$
Покажем, что при условии регулярности вероятностей $\mathrm{Pr}^{1},\ldots, \mathrm{Pr}^{k}$ может быть восстановлена нечеткая модель
$(\Omega,{\cal P}(\Omega),\mathrm{P},\mathrm{N})$, $\mathrm{Pr}_{}^{s}\approx>\mathrm{P}$, $\mathrm{Pr}_{}^{s}\approx>\mathrm{N}$,
$s=1,\ldots,k$, каждого испытания, причем безошибочно и на основе конечного числа испытаний.
Если $\Omega=\{\omega^{}_{1},\ldots,\omega^{}_{m}\},$ вероятности $\mathrm{Pr}^{1},\ldots,\mathrm{Pr}^{k}$ удовлетворяют условиям регулярности
$$\mathrm{pr}_{i}^{s}>0,\ \
f^{s}_{i}=\mathrm{pr}_{1}^{s}+\ldots+\mathrm{pr}_{i-1}^{s}+2\mathrm{pr}_{i}^{s}\ne 1,\; i=1,\ldots,m,\\
\mathrm{pr}_{1}+\ldots+\mathrm{pr}_{m}=1,\ \ s=1,\ldots,k,
\label{eq:0.7}
$$
где $\mathrm{pr}^{s}_{i}=\mathrm{Pr}^{s}(\{\omega^{}_{i}\}),$
и для некоторого $e\in(0,1)$ $\mathrm{Pr}^{s}\in\mathbb{P}\mathrm{r}_{(e)},$ $s=1,\ldots,k,$
то
данные п. н. конечного числа испытаний позволят безошибочно восстановить класс взаимно эквивалентных нечетких моделей
$(\Omega,{\cal P}(\Omega),\mathrm{P},\mathrm{N}),$ $\mathrm{P}\in\mathbb{P}_{(e)},$ $\mathrm{N}\in\mathbb{N}_{(e)},$ каждого испытания.
Так как согласно условиям теоремы $\forall\,i = 1,\ldots, m$ либо
$\forall\,s = 1,\ldots,k$ $f^{s}_{i}>1$, либо $\forall\,s = 1,\ldots,k$ $f^{s}_{i}<1$,
то $f^{(n)}_{i}=\sum\limits_{s=1}^{k}(n^{}_{s}/n)f^{s}_{i}>1
\Leftrightarrow \forall\,s=1,\ldots,k$$f^{s}_{i}>1 \Leftrightarrow e^{}_{i}=1$,
$f^{(n)}_{i}<1\Leftrightarrow \forall\,s=1,\ldots,k$ $f^{s}_{i}<1 \Leftrightarrow e^{}_{i}=0$, $i=1,\ldots,m$,
а так как
$f^{(n)}_{i}=\sum\limits_{s=1}^{k}(n^{}_{s}/n)f_{i}^{s}
= \sum\limits_{s=1}^{k}(n^{}_{s}/n)(\mathrm{pr}_{1}^{s}+\ldots+\mathrm{pr}^{s}_{i-1}+2\mathrm{pr}^{s}_{i})
= \mathrm{pr}^{(n)}_{1}+\ldots+\mathrm{pr}^{(n)}_{i-1}+2\mathrm{pr}^{(n)}_{i}$,
где $\mathrm{pr}^{(n)}_{i}=\sum\limits_{s=1}^{k}(n^{}_{s}/n)\mathrm{pr}^{s}_{i}$,
$i = 1,\ldots, m$, $n = 1, 2,\ldots,$
то в силу УЗБЧ $\nu^{(n)}_{i}-\mathrm{pr}^{(n)}_{i}\xrightarrow[n\to\infty]{\text{п.\,н.}}0$,
где $\nu^{(n)}_{i}=\sum\limits_{s=1}^{k}(n^{}_{s}/n)\nu_{i}^{n^{}_{s}}$ --- частота события $\{\omega^{}_{i}\}$,
$\nu_{i}^{n^{}_{s}}$ --- (ненаблюдаемая) частота тех $\{\omega^{}_{i}\}$, $i=1,\ldots,m,$
которые контролировались вероятностью $\mathrm{Pr}^{s}$, $s=1,\ldots, k$.
Поэтому
$(\varphi^{(n)}_{i}=\nu_{1}^{(n)}+\ldots+\nu_{i-1}^{(n)}+2\nu^{(n)}_{i})-(\mathrm{pr}^{(n)}_{1}+\ldots+\mathrm{pr}^{(n)}_{i-1}+2\mathrm{pr}^{(n)}_{i}
= f^{(n)}_{i})\xrightarrow[n\to\infty]{\text{п.\,н.}}0$
и, следовательно, $\exists\,N$ $\forall\,n>N$
$f^{(n)}_{i}>1\Leftrightarrow e^{}_{i}=1 \Rightarrow \varphi^{(n)}_{i}\stackrel{\text{п.\,н.}}{>}1$,
$f^{(n)}_{i}<1\Leftrightarrow e^{}_{i}=0 \Rightarrow \varphi^{(n)}_{i}\stackrel{\text{п.\,н.}}{<}1$,
т. е. наблюдаемые значения $\varphi^{(n)}_{i}$, $i=1,\ldots,m$,
позволяют безошибочно восстановить значение $e$.\mbox{}\hfill$\square$
Уточним сказанное о вероятностном и о возможностном моделировании СТ. О.
в п. 1.2. Согласно теореме нечеткая модель СТ. О.
может быть восстановлена точно и на основе конечного числа наблюдений,
если выполнены условия (), и вероятности
$\mathrm{Pr}^{s}\,{\in}\,\mathbb{P}\mathrm{r}$, $s=1,\ldots,k$,
изменяются в пределах некоторого класса $\mathbb{P}\mathrm{r}^{}_{(e)}$,
при этом вероятностная модель СТ. О. восстанавливается лишь с точностью до включения в класс
${\cal P}\mathrm{r}^{}_{(e)}=\{(\Omega,{\cal P}(\Omega),\mathrm{Pr}),\,\mathrm{Pr}\in\mathbb{P}\mathrm{r}^{}_{(e)}\}$
нечетко эквивалентных моделей.
В следующей теореме дан алгоритм восстановления нечеткой модели испытаний.
Пусть выполнены условия теоремы и для всех $i=1,\ldots,m$
$$1)&\mbox{\it~если}\ {\varphi}_{i}^{(n)}>1+\delta^{(n)}, \mbox{\it~то считать}\ e_{i}=1, \notag\\
2)&\mbox{\it~если}\ {\varphi}_{i}^{(n)}<1-\delta^{(n)}, \mbox{\it~то считать}\ e_{i}=0, \label{eq_pref_starstarstar}\\
3)&\mbox{\it~если}\ |{\varphi}_{i}^{(n)}-1|\leqslant\delta^{(n)}, \notag\\
&\mbox{\it~то продолжить испытания},\ n=1,2,\ldots, \notag
$$
где
${\varphi}_{i}^{(n)}=\nu_{1}^{(n)}+\ldots+\nu_{i-1}^{(n)}+2\nu_{i}^{(n)},$
$i=1,\ldots,m,$ $\delta^{(n)}=\left(\frac{2}{n}\ln\frac{1}{\alpha}\right)^{1/2}\!,$
$n=1,2,\ldots,$ $\alpha$ --- верхняя граница вероятности ошибочных решений , 2.
Тогда условие 3 выполняется для п. н. конечного
числа испытаний, и алгоритм () восстанавливает
$e=0.e_{1}\ldots e_{m},$ совпадающее с его истинным значением с вероятностью
${\geqslant\,1-m\alpha}$.
Воспользовавшись неравенством Хефдинга
\xi^{}_{1},\ldots,\xi^{}_{n}$
\mathrm{Pr}(a^{}_{k}\leqslant\xi^{}_{k}\leqslant b^{}_{k})=1$
k = 1,\ldots, n$\forall\,\varepsilon>0$
\mathrm{Pr}(\zeta^{}_{n}-\mathsf{E}\zeta^{}_{n}>n\varepsilon)\leqslant
\exp(-2n^{2}\varepsilon^{2}/\sum\limits_{i=1}^{n}(b^{}_{i}-a^{}_{i})^{2})$
\zeta^{}_{n}=\xi^{}_{1}+\dots+\xi^{}_{n}$,
оценим вероятности ошибочных решений
1) $\mathrm{Pr}^{(n)}(\varphi^{(n)}_{i}>1+\delta^{(n)}\mid f^{(n)}_{i}<1)
\leqslant \mathrm{Pr}^{(n)}(\varphi^{(n)}_{i}-f^{(n)}_{i}>\delta^{(n)}\mid f^{(n)}_{i}<1)
\leqslant \exp(-n(\delta^{(n)})^{2}/2)=\alpha$,
2) $\mathrm{Pr}^{(n)}(\varphi^{(n)}_{i}<1-\delta^{(n)}\mid f^{(n)}_{i}>1)
\leqslant \mathrm{Pr}^{(n)}(\varphi^{(n)}_{i}-f^{(n)}_{i}<-\delta^{(n)}\mid f^{(n)}_{i}>1)
\leqslant \exp(-n(\delta^{(n)})^{2}/2)=\alpha$,
и при заданной их верхней границе $\alpha$ определим
$\delta^{(n)}=(\frac{2}{n}\ln\frac{1}{\alpha})^{1/2}$, $n=1,2,\ldots~.$
Покажем, что условие 3 продолжения испытаний выполняется для п. н. конечного их числа.
Согласно условиям теоремы , так как либо $\forall\,s$
$f^{s}_{i}<1$, либо $\forall\,s$ $f^{s}_{i}>1$, то
$\exists\,\varepsilon>0$
$\min\limits_{{1\leqslant i \leqslant m}\atop{1\leqslant s \leqslant k}}|{f^{s}_{i}-1}|>2\varepsilon
\Rightarrow \min\limits_{1\leqslant i\leqslant m}|{f^{(n)}_{i}-1}|
= \min\limits_{1\leqslant i\leqslant m}\sum\limits_{s=1}^{k}\frac{n^{}_{s}}{n}|{f^{s}_{i}-1}|>2\varepsilon
\Rightarrow \mathrm{Pr}^{(n)}(|{\varphi^{(n)}_{i}-1}|\leqslant\delta^{(n)} \:\big|\: |{f^{(n)}_{i}-1}|>\varepsilon)
\leqslant 2\exp({-n\varepsilon^2/2}),$
$n=1,2,\ldots$
$\Rightarrow\sum\limits_{n=1}^{\infty}\mathrm{Pr}^{(n)}(|\varphi^{(n)}_{i}-1|\leqslant\delta^{(n)})<\infty,$
т. е. согласно лемме Бореля--Кантелли условие 3 выполняется для
п. н. конечного числа испытаний.\mbox{}\hfill$\square$
Первые публикации по п. 3 --- [B12,newed05,B14], где приведены математические
методы и адаптивные алгоритмы, с гарантированной точностью
восстанавливающие $\mathrm{Pr}$ возможность, причем
и в том случае, когда вероятность изменяется от испытания
к испытанию, оставаясь в пределах некоторого класса нечетко
эквивалентных вероятностей. В [newed11,B16] рассмотрены
интервальные методы эмпирического восстановления возможности как
верхней вероятности.
4. Математические основы теории возможностей
pnPN
Обозначим ${\cal L}(X)$, $\widehat{\cal L}(X)$ классы функций
$g{({\cdot})}{\,:}$ $X\to{\cal L}$, $\widehat{g}{({\cdot})}{\,:}$ $X\to\widehat{\cal L}$
с бинарными операциями
$(g_{1}*g_{2})(x)\stackrel{\text{def}}{=}g_{1}(x)* g_{2}(x)$, ${x\in X}$,
$(\widehat{g}_{1}\,\widehat{*}\,\widehat{g}_{2})(x)\stackrel{\text{def}}{=}\widehat{g}_{1}(x)\,\widehat{*}\,\widehat{g}_{2}(x)$,
${x\in X}$,
где $*$ и $\widehat{*}$ --- любые из операций $\plus$, $\btimess$
и $\widehat{\plus}$, $\widehat{\btimess}$. Далее ${\cal L}(X)$
и $\widehat{\cal L}(X)$ суть классы всех функций $X\to[0,1]$
с операциями $\plus$, $\btimess$ и $\widehat{\plus}$,
$\widehat{\btimess}$ и отношениями $\leqslant$
и $\widehat{\leqslant}$, $X$ --- произвольное множество, ${\cal
P}(X)$ --- класс всех его подмножеств.
Определим $\mathrm{p}$- и $\mathrm{n}$ как функции $\mathrm{p}{({\cdot})}$ :
${\cal L}(X)\to{\cal L}$ и $\mathrm{n}{({\cdot})}{\,:}$ $\widehat{\cal L}(X)\to\widehat{\cal L}$,
$\bull$однородные : $\forall\,a\in{\cal L}$
$\forall\,g{({\cdot})}{\,:}$ $X\to{\cal L}$ $\mathrm{p}((a\btimess g){({\cdot})})
= a\btimess \mathrm{p}(g{({\cdot})})$, $\forall\,\widehat{a}\in\widehat{\cal L}$ $\forall\,\widehat{g}{({\cdot})}{\,:}$ $X\to\widehat{\cal L}$
$\mathrm{n}((\widehat{a}\widehat{\btimess}\widehat{g}){({\cdot})})=\widehat{a}\widehat{\btimess}\mathrm{n}(\widehat{g}{({\cdot})})$,
$\bull$вполне аддитивные :
$\forall\,g_{j}{({\cdot})}{\,:}$ $X\to{\cal L},$ $j\in J,$
$\mathrm{p}((\mathop{\plus}\limits_{j\in J}g_{j}){({\cdot})})=\mathop{\plus}\limits_{j\in J}\mathrm{p}(g_{j}{({\cdot})})$
$\forall\,\widehat{g}_{j}{({\cdot})}{\,:}$ $X\to\widehat{\cal L},$
$j\in J,$ $\mathrm{n}((\mathop{\widehat{\plus}}\limits_{j\in J}\widehat{g}_{j}){({\cdot})})
= \mathop{\widehat{\plus}}\limits_{j\in J}\mathrm{n}(\widehat{g}_{j}{({\cdot})})$,
где $J$ --- произвольное множество индексов.
Определим меры $\mathrm{P}{({\cdot})}{\,:}$ ${\cal P}(X)\to{\cal L}$
и $\mathrm{N}{({\cdot})}{\,:}$ ${\cal P}(X)\to\widehat{\cal L}$
равенствами:
$\forall\,E\in{\cal P}(X)$ $\mathrm{P}(E)\stackrel{\text{def}}{=}\mathrm{p}(\chi^{}_{E}{({\cdot})})$
и $\mathrm{N}(E)\stackrel{\text{def}}{=}\mathrm{n}(\widehat{\chi}^{}_{E}{({\cdot})})$,
где $ \chi^{}_{E}(x)=1$, $x\in E$, $\chi^{}_{E}(x)=0$, $x\not\in E,$ ${x\in X}$,
$\widehat{\chi}^{}_{E}(\dot)=\theta\circ\chi^{}_{X\setminus E}(\dot)=\chi^{}_{E}{({\cdot})}$,
${\theta{({\cdot})}\in\Theta}$.
$\forall\,\mathrm{p}{({\cdot})}{\,:}$ ${\cal L}(X)\to{\cal L}$
$\exists\,s{({\cdot})}{\,:}$ $X\to{\cal L}$ $\forall\,g{({\cdot})}{\,:}$ $X\to{\cal L}$
$$\mathrm{p}(g{({\cdot})}) = \sup_{x\in X}\min\{s(x),g(x)\} \equiv{}\\
{}\equiv \mathop{\plus}\limits_{x\in X}(s(x)\btimess g(x)) \stackrel{\text{def}}{=}\mathrm{p}_{s}(g{({\cdot})}),
\label{eq_siemens_2010_06_07__1}
$$
$\
forall\,\mathrm{n}{({\cdot})}{\,:}$ $\widehat{\cal L}(X)\to\widehat{\cal L}$
$\exists\,\widehat{s}{({\cdot})}{\,:}$ $X\to\widehat{\cal L}$
$\forall\,\widehat{g}{({\cdot})}{\,:}$ $X\to\widehat{\cal L}$
$$\mathrm{n}(\widehat{g}{({\cdot})}) = \inf_{x\in X}\max\{\widehat{s}(x),\widehat{g}(x)\} \equiv{}\\
{}\equiv \mathop{\widehat{\plus}}\limits_{x\in X}(\widehat{s}(x)\widehat{\btimess}\widehat{g}(x))
\stackrel{\text{def}}{=}\mathrm{n}_{\widehat{s}}(\widehat{g}{({\cdot})}),
\label{eq_siemens_2010_06_07__2}
$$
где
$s(x)=\mathrm{p}_{s}(\chi^{\;}_{\{x\}}{({\cdot})})=\mathrm{P}_{s}(\{x\}),$
$\widehat{s}(x)=\mathrm{n}_{\widehat{s}}(\widehat{\chi}^{\;}_{X\setminus\{x\}}{({\cdot})})=\mathrm{N}_{\widehat{s}}(X\setminus\{x\}),$
$x\in X,$ суть распределения $\mathrm{P}_{s},~\mathrm{N}_{\widehat{s}}$.
Для любых функций $g{({\cdot})}{\,:}$ $X\to {\cal L},$
$\widehat{g}{({\cdot})}{\,:}$ $X\to\widehat{{\cal L}}$ имеют место
<<интегральные представления>>:
g(x)=_y X{g(y),_{y}(x)}
_y X(g(y) _{y}(x)) = ^_^_{}(x)(g()), x X,
(x) =_y X{(y),_X {y}(x)}
_y X((y) _X{y}(x))
= ^_\widehat^_X{}(x)(\widehatg()), x X,
и в силу однородности и полной аддитивности $\mathrm{p}$- и $\mathrm{n}$
$\mathrm{p}(g{({\cdot})})=\mathop{\plus}\limits_{y\in X}(g(y)\btimess\mathrm{p}(\chi_{\{y\}}{({\cdot})}))
\equiv \mathop{\plus}\limits_{y\in X}(g(y)\btimess s(y))\stackrel{\text{def}}{=}\mathrm{p}_{s}(g{({\cdot})}),$
где $s(y)=\mathrm{p}(\chi_{\{y\}}{({\cdot})})=\mathrm{p}_{s}(\chi_{\{y\}}{({\cdot})})\stackrel{\text{def}}{=}\mathrm{P}_{s}(\{y\})$,
$y\in X$; $\mathrm{n}(\widehat{g}{({\cdot})})=\mathop{\widehat{\plus}}\limits_{y\in X}(\widehat{g}(y)\widehat{\btimess}$
$\widehat{\btimess}\mathrm{n}(\widehat{\chi}_{X\setminus\{y\}}{({\cdot})}))
\equiv\mathop{\widehat{\plus}}\limits_{y\in X}(\widehat{g}(y)\btimess\widehat{s}(y))
\stackrel{\text{def}}{=}\mathrm{n}_{\widehat{s}}(\widehat{g}{({\cdot})}),$
где $\widehat{s}(y)=\mathrm{n}(\widehat{\chi}_{X\setminus\{y\}}{({\cdot})})
=\mathrm{n}_{\widehat{s}}(\widehat{\chi}_{X\setminus\{y\}}{({\cdot})})\stackrel{\text{def}}{=}\mathrm{N}_{\widehat{s}}(X\setminus\{y\})$,
${y\in X}$.\mbox{}\hfill$\square$
Если в теореме ${\cal L}\to\gamma{\cal L}$,
то $\mathrm{p}^{}_{s}(g(\dot))\to\mathrm{p}^{}_{\gamma\circ s}(\gamma\circ g(\dot))=\gamma(\mathrm{p}^{}_{s}(g(\dot)))$
и, согласно принципу относительности, интегралы $\mathrm{p}^{}_{s}(g(\dot))$
и $\mathrm{p}^{}_{\gamma\circ s}(\gamma\circ g(\dot))$ взаимно эквивалентны.
Если же, следуя определению , рассматривать интеграл $\mathrm{p}^{}_{s}(\dot)$
как функцию ${\cal L}(X)\to{\cal L}$, то его пребразование как функции при неизменном аргументе
$g(\dot)\in{\cal L}(X)$:
$\mathrm{p}^{}_{s}(g(\dot))\to\gamma * \mathrm{p}^{}_{s}(g(\dot))=\gamma(\mathrm{p}^{}_{s}(\gamma^{-1}\circ g(\dot)))
=\mathrm{p}^{}_{\gamma\circ s}(g(\dot))$.
$\
bullet$ Эвристические определения () и ()
следуют из определения :
${\forall\,E\in{\cal P}(X)}$
$$\begin{aligned}
\mathrm{P}(E) &= \mathrm{p}_{s}(\chi_{E}{({\cdot})})\stackrel{\text{def}}{=}\mathrm{P}_{s}(E)=\mathop{\plus}\limits_{x\in E}s(x),\\
\mathrm{N}(E) &= \mathrm{n}_{\widehat{s}}(\widehat{\chi}^{}_{E}{({\cdot})})\stackrel{\text{def}}{=}\mathrm{N}_{\widehat{s}}(E)
= \mathop{\widehat{\plus}}\limits_{x\in X\setminus E}\widehat{s}(x).
\end{aligned}\label{eq_cons_13}
$$
$\
bullet$ $\mathrm{p}$- и $\mathrm{n}$-интегралы ()
и () суть интегралы Лебега и Сугено
относительно мер $\mathrm{P}$ ()
и $\mathrm{N}$ () .
$\bullet$ Меры $\mathrm{P}_{s}$ и $\mathrm{N}_{\widehat{s}}$
() вполне аддитивны:
$\mathrm{P}_{s}(\bigcup\limits_{j\in J}\!\!E_{j})\,{\stackrel{\text{def}}{=}}\,\mathrm{p}_{s}(\chi^{}_{\bigcup\limits_{j\in J}\!\! E_{j}}{({\cdot})})
\equiv \mathrm{p}_{s}((\mathop{\plus}\limits_{j\in J}\chi^{}_{E_{j}}){({\cdot})})=\mathop{\plus}\limits_{j\in J}\mathrm{P}_{s}(E_{j})$,
$\mathrm{N}_{\widehat{s}}(\bigcap\limits_{j\in J}E_{j})\stackrel{\text{def}}{=}\mathrm{n}_{\widehat{s}}(\widehat{\chi}^{}_{\bigcap\limits_{j\in J}E_{j}}{({\cdot})})
\equiv \mathrm{n}_{\widehat{s}}((\mathop{\widehat{\plus}}\limits_{j\in J}\widehat{\chi}^{}_{E_{j}}){({\cdot})})
= \mathop{\widehat{\plus}}\limits_{j\in J}\mathrm{N}_{\widehat{s}}(E_{j})$, где $J$ ---
произвольное множество индексов, и
$\bullet$ полунепрерывны: если
$A=\bigcup\limits_{N=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n\geqslant N}A_{n}
= \bigcap\limits_{N=1}^{\infty}\bigcup\limits_{n\geqslant N}A_{n}\stackrel{\text{def}}{=} \lim\limits_{n\to\infty}A_{n}$,
то $\mathrm{P}_{s}(A)\leqslant\sup\limits_{N}\inf\limits_{n\geqslant N}\mathrm{P}_{s}(A_{n})=\liminf\limits_{n\to\infty}\mathrm{P}_{s}(A_{n})$
(полунепрерывны снизу),
$\mathrm{N}_{\widehat{s}}(A)\geqslant\inf\limits_{N}\sup\limits_{n\geqslant N}\mathrm{N}_{\widehat{s}}(A_{n})
= \limsup\limits_{n\to\infty}\mathrm{N}_{\widehat{s}}(A_{n})$
(полунепрерывны сверху); причем если ${A=X},$
то $1=\mathrm{P}_{s}(X)=\lim\limits_{n\to\infty}\mathrm{P}_{s}(A_{n})$,
если ${A=\varnothing,}$
то $0=\mathrm{N}_{\widehat{s}}(\varnothing)=\lim\limits_{n\to\infty}\mathrm{N}_{\widehat{s}}(A_{n})$.
pn
Обозначим:
$\mathrm{p}^{}_{A}(g^{}_{\cdot})=\mathop{\plus}\limits_{i{\,:}\:\omega^{}_{i}\in A}(\mathrm{p}^{}_{i}\btimess g^{}_{i})
= \mathop{\plus}\limits_{i{\,:}\:\omega^{}_{i}\in\Omega}(\mathrm{p}^{}_{i}\btimess$$\btimess g^{}_{i}\btimess\chi^{}_{A,i})$
$\mathrm{p}$ по множеству $A\subset\Omega=\{\omega^{}_{1},\omega^{}_{2},\ldots\}$,
где $\mathrm{p}^{}_{i}=\mathrm{P}(\{\omega^{}_{i}\})$,
$g^{}_{i}=g(\omega^{}_{i})$, $\chi^{}_{A,i}=1$, $\omega^{}_{i}\in A$,
$\chi^{}_{A,i}=0$, $\omega^{}_{i}\in \Omega\setminus A$, $\omega^{}_{i}\in\Omega$;
$\mathsf{E}^{}_{A}(f^{}_{\cdot})=\sum\limits_{i{\,:}\:\omega^{}_{i}\in A}{\mathrm{pr}^{}_{i}\cdot f^{}_{i}}
= \sum\limits_{i{\,:}\:\omega^{}_{i}\in\Omega}{\mathrm{pr}^{}_{i}\cdot f^{}_{i}\cdot\chi^{}_{A,i}}$ ---
математическое ожидание на множестве $A\in\Omega$ случайной
величины $f(\dot){\,:}$ $\Omega\to[0,\infty)$, где
$f^{}_{i}=f(\omega^{}_{i})$, $\mathrm{pr}^{}_{i}=\mathrm{Pr}(\{\omega^{}_{i}\})$, $\omega^{}_{i}\in\Omega$.
Пусть $u^{}_{i}=\mathrm{p}^{}_{i}\btimess g^{}_{i}$,
$v^{}_{i}={\mathrm{pr}^{}_{i}\,{\cdot}\, f^{}_{i}}$, $i=1,2,\ldots,$ и подобно (),
() $1=u^{}_{1}\geqslant
u^{}_{2}\geqslant\ldots\geqslant 0,$$v\geqslant v^{}_{1}\geqslant
v^{}_{2}\geqslant\ldots\geqslant 0,$
$v=\sum\limits_{i=1}^{\infty}v^{}_{i}<\infty$,
$\textbf{p}$ --- класс $\mathrm{p}$
$\mathrm{p}^{}_{A}(\dot)$, $A\subset\Omega$,
$\boldsymbol{\mathsf{E}}$ --- класс математических ожиданий
$\mathsf{E}^{}_{A}(\dot)$, $A\subset\Omega$, $e=
0{,}e^{}_{1}e^{}_{2}\ldots\in (0,1)$ --- двоичное число,
определяющее конкретную упорядоченность: $e^{}_{i}=1$, если
$u^{}_{i}>u^{}_{i+1}$, $e^{}_{i}=0$, если $u^{}_{i}=u^{}_{i+1}$,
$i=1,2,\ldots,$ $\textbf{p}^{}_{(e)}$ --- класс
взаимно эквивалентных $\mathrm{p}$- интегралов
(см. замечание ),
$\textbf{p}=\bigcup\limits_{e\in(0,1)}\textbf{p}^{}_{(e)}$,
$\textbf{p}^{}_{(e)}\cap\textbf{p}^{}_{(e')}=\varnothing$,
${e\ne e'}$. Определим классы ${\cal P}^{}_{i}(\Omega)\subset {\cal
P}(\Omega)$, $i=1,2,\ldots,$ подмножеств ${\cal P}(\Omega)$:
${\cal P}^{}_{1}(\Omega)=\{A\in{\cal P}(\Omega),\,\omega^{}_{1}\in
A\}$, $\forall \, A\in {\cal P}^{}_{1}(\Omega)$
$\mathrm{p}^{}_{A}(g^{}_{\cdot})=u^{}_{1}=1$,
$\mathsf{E}^{}_{A}(f^{}_{\cdot})\in[v^{}_{1},v]=\Delta^{}_{1}$,
где $\Delta^{}_{1}$ --- минимальный по включению интервал,
содержащий $\mathsf{E}^{}_{A}(f^{}_{\cdot})$, ${\cal
P}^{}_{2}(\Omega)=\{A\in{\cal P}(\Omega),\,\omega^{}_{1}\not \in
A,\,\omega^{}_{2}\in A\}$, $\forall \, A\in {\cal
P}^{}_{2}(\Omega)$$\mathrm{p}^{}_{A}(g^{}_{\cdot})=u^{}_{2}$,
$\mathsf{E}^{}_{A}(f^{}_{\cdot})\in[v^{}_{2},v-v^{}_{1}]=\Delta^{}_{2}$,
где $\Delta^{}_{2}$ --- минимальный по включению интервал,
содержащий $\mathsf{E}^{}_{A}(f^{}_{\cdot})$, $\ldots,$ ${\cal
P}^{}_{i}(\Omega)=\{A\in{\cal P}(\Omega),\,\omega^{}_{1}\not \in
A,\ldots,\omega^{}_{i-1}\not \in A,\omega^{}_{i}\in A\}$, $\forall
\, A\in {\cal P}^{}_{i}(\Omega)$
$\mathrm{p}^{}_{A}(g^{}_{\cdot})=u^{}_{i}$,
$\mathsf{E}^{}_{A}(f^{}_{\cdot})\in[v^{}_{i},v-(v^{}_{1}+\ldots+v^{}_{i-1})]=\Delta^{}_{i}$,
где $\Delta^{}_{i}$ --- минимальный интервал, содержащий значения
$\mathsf{E}^{}_{A}(f^{}_{\cdot})$, $i=3,4,\ldots;$ очевидно, что
${\cal P}(\Omega)={\cal P}^{}_{1}(\Omega)\cup{\cal
P}^{}_{2}(\Omega)\cup\ldots\cup{\cal P}^{}_{i}(\Omega)\cup\ldots,$
${\cal P}^{}_{i}(\Omega)\cap{\cal P}^{}_{j}(\Omega)=\varnothing$,
$i\ne j$.
Определим функцию $\gamma^{}_{e}(\dot){\,:}$ $[0,v]\to[0,1]$,
непрерывную на $(0,v]$, $\gamma^{}_{e}(0)=0$,
$\gamma^{}_{e}(v)=1$, монотонную, удовлетворяющую условиям:
$\gamma^{}_{e}(a)=u^{}_{i}$, $a\in \Delta^{}_{i}$, $i=1,2,\ldots,$
причем так, чтобы
$$\begin{aligned}
e^{}_{i}=1 &\Leftrightarrow u^{}_{i}>u^{}_{i+1}\Leftrightarrow \Delta^{}_{i}\cap\Delta^{}_{i+1}=\varnothing \Leftrightarrow{}\\
&\Leftrightarrow v^{}_{1}+\ldots+v^{}_{i-1}+2v^{}_{i}>v,\\
e^{}_{i}=0 &\Leftrightarrow u^{}_{i}=u^{}_{i+1}\Leftrightarrow \Delta^{}_{i}\cap\Delta^{}_{i+1}\ne\varnothing \Leftrightarrow{}\\
&\Leftrightarrow v^{}_{1}+\ldots+v^{}_{i-1}+2v^{}_{i}\leqslant v,\ \ i=1,2,\ldots
\end{aligned}
\tag{$*$}
\label{equation_star}
$$
Так опреденная функция $\gamma^{}_{e}(\dot)$ устанавливает
однозначное соответствие между классом
$\textbf{p}^{}_{(e)}$ эквивалентных
$\mathrm{p}$ и классом
$\boldsymbol{\mathsf{E}}^{}_{(e)}$ нечетко эквивалентных
математических ожиданий, $e\in(0,1)$, а именно, согласно ()
$\exists\,\gamma^{}_{e}(\dot){\,:}$ $[0,v]\to[0,1]$
$\forall\,A\subset\Omega$
$$\mathrm{p}^{}_{A}(g^{}_{\cdot})=\mathop{\plus}\limits_{i{\,:}\:\omega^{}_{i}\in A}(\mathrm{p}^{}_{i}\btimess g^{}_{i})=
\gamma^{}_{e}\Biggl(\sum\limits_{i{\,:}\:\omega^{}_{i}\in A}{\mathrm{pr}^{}_{i}\cdot f^{}_{i}}\Biggr) ={}\\
{}= \gamma^{}_{e}(\mathsf{E}^{}_{A}(f^{}_{\cdot})).
\label{eq_article_chch}
$$
В частности, если $A=\{\omega^{}_{i}\}$, то, согласно
(), $\mathrm{p}^{}_{i}\btimess g^{}_{i}=\gamma^{}_{e}(\mathrm{pr}^{}_{i}\cdot f^{}_{i})$
и $\mathop{\plus}\limits_{i{\,:}\:\omega^{}_{i}\in A}(\gamma^{}_{e}({\mathrm{pr}^{}_{i}\cdot f^{}_{i}}))
= \gamma^{}_{e}(\sum\limits_{i{\,:}\:\omega^{}_{i}\in A}{\mathrm{pr}^{}_{i}\cdot f^{}_{i}})$,
а как следствие получим равенства ():
если $g(\omega^{}_{i})=f(\omega^{}_{i})=\chi^{}_{A,i}$,
$i=1,2,\ldots,$ --- индикатор $A=\{\omega^{}_{i^{}_{1}},$ $\omega^{}_{i^{}_{2}},\ldots\}$,
$u^{}_{i^{}_{1}}\geqslant u^{}_{i^{}_{2}}\geqslant{\ldots,}$ $v^{}_{i^{}_{1}}\geqslant v^{}_{i^{}_{2}}\geqslant{\dots,}$
$u^{}_{i^{}_{1}}=\mathrm{p}^{}_{i^{}_{1}}$, $u^{}_{i^{}_{2}}=\mathrm{p}^{}_{i^{}_{2}},\dots,v^{}_{i^{}_{1}}=\mathrm{pr}^{}_{i^{}_{1}}$,
$v^{}_{i^{}_{2}}=\mathrm{pr}^{}_{i^{}_{2}},{\dots,}$ то, согласно (),
$\mathrm{p}^{}_{A}(g^{}_{\cdot})=\mathrm{P}(A)$, $\mathsf{E}^{}_{A}(f^{}_{\cdot})=\mathrm{Pr}(A)$,
$\mathrm{P}(A)=\gamma^{}_{e}(\mathrm{Pr}(A))$, ${A\subset\Omega}$.
Обозначим
$\mathrm{n}^{}_{A}(\widehat{g}^{}_{\cdot})
= \mathop{\plus}\limits_{i{\,:}\:\omega^{}_{i}\in\Omega}(\widehat{\mathrm{p}}^{}_{i}\,\widehat{\btimess}\,\widehat{g}^{}_{i}\,\widehat{\btimess}\,\widehat{\chi}^{}_{A,i})
= \mathop{\widehat{\plus}}\limits_{i{\,:}\:\omega^{}_{i}\in\Omega\setminus A}(\widehat{p}^{}_{i}\,\widehat{\btimess}\,\widehat{g}^{}_{i})$
$\mathrm{n}$ по $A$,
где $\mathrm{\widehat{p}}^{}_{i}=\mathrm{n}^{}_{i}=\theta(\mathrm{p}^{}_{i})$,
$\widehat{g}^{}_{i}=\theta(g^{}_{i})$ (см. замечание ),
$\widehat{\chi}^{}_{A,i}=\chi^{}_{A,i}$. Так как
$\mathrm{n}^{}_{A}(\widehat{g}^{}_{\cdot})=\mathop{\widehat{\plus}}\limits_{i{\,:}\:\omega^{}_{i}\in\Omega\setminus A}\widehat{u}^{}_{i}
= \theta\Bigl(\mathop{\plus}\limits_{i{\,:}\:\omega^{}_{i}\in\Omega\setminus A}u^{}_{i}\Bigr)=\theta(\mathrm{p}^{}_{\Omega\setminus A}(g^{}_{\cdot}))$,
где $\widehat{u}^{}_{i}=\widehat{\mathrm{p}}^{}_{i}\,\widehat{\btimess}\,\widehat{g}^{}_{i}=\theta(\mathrm{p}^{}_{i}\btimess g^{}_{i})=\theta(u^{}_{i})$,
$i=1,2,\ldots,$ то функция $\theta^{}_{e}(\dot)=\theta\circ\gamma^{}_{e}(\dot){\,:}\:[0,v]\to[0,1]$,
согласно (), определяет взаимно однозначное соответствие: $\forall\,A\subset\Omega$
$\mathrm{n}^{}_{A}(\widehat{g}^{}_{\cdot})=\theta^{}_{e}(\sum\limits_{i{\,:}\:\omega^{}_{i}\in\Omega\setminus A}\mathrm{pr}^{}_{i}f^{}_{i})
= \theta^{}_{e}(\mathsf{E}^{}_{\Omega\setminus A}(f^{}_{\cdot}))$
между классом $\textbf{n}^{}_{(e)}$ взаимно эквивалентных $\mathrm{n}$
и классом $\boldsymbol{\mathsf{E}}^{}_{(e)}$ взаимно нечетко эквивалентных
математических ожиданий, ${e\in(0,1)}$.
Первые публикации по п. 4.1 --- [B7,N17,N26], где, в отличие от [B9,B10],
интегралы определены как интегралы Лебега, но, как показано в [poss2],
им эквивалентны. Работы, в которых рассмотрены связи между
математическим ожиданием и $\mathrm{p}$-, $\mathrm{n}$, автору неизвестны.
Нечеткий элемент (нч. э.) $\eta$ определим как
канонический\eta$(Y,{\cal P}(Y))$\mathrm{P}_{Y}$\mathrm{N}_{Y}$
(Y,{\cal P}(Y),\mathrm{P}_{Y},\mathrm{N}_{Y})=(Y,{\cal P}(Y),\mathrm{P}^{\eta}_{}\!,\mathrm{N}^{\eta}_{})$
для нечеткого пространства $(Y,{\cal P}(Y),\mathrm{P}_{Y},\mathrm{N}_{Y})$, задав распределения
возможностей $g^{\eta}(y)=\mathrm{P}_{Y}(\{y\})\stackrel{\text{def}}{=}\mathrm{P}^{\eta}(\eta=y)$
и необходимостей $\widehat{g}^{\eta}(y)=\mathrm{N}_{Y}(Y\setminus\{y\})\stackrel{\text{def}}{=}\mathrm{N}^{\eta}({\eta\ne y})$,
${y\in Y,}$ его значений, поскольку, согласно (),
$\forall\,B\in{\cal P}(Y)$
$$\begin{aligned}
\mathrm{P}_{Y}(B) &\stackrel{\text{def}}{=} \mathrm{P}^{\eta}(\eta\in B)=\mathrm{p}_{g^{\eta}}(\chi_{B}{({\cdot})})=\plus\limits_{y\in B}g^{\eta}(y),\\
\mathrm{N}_{Y}(B) &\stackrel{\text{def}}{=} \mathrm{N}^{\eta}(\eta\in B)=\mathrm{n}_{\widehat{g}^{\eta}}(\widehat{\chi}_{B}{({\cdot})})
= \mathop{\widehat{\plus}}\limits_{y\in Y \setminus B}\widehat{g}^{\,\eta}(y),
\end{aligned}\label{eq_article_cane}
$$
где $\widehat{\chi}_{B}{({\cdot})}=\theta\circ\chi_{Y\setminus B}{({\cdot})}$, и согласно ()
и () $\mathrm{p}$- и $\mathrm{n}$ $\mathrm{p}_{g^{\eta}}$
и $\mathrm{n}_{\widehat{g}^{\eta}}$ относительно мер $\mathrm{P}^{}_{Y}$ и $\mathrm{N}^{}_{Y}$
суть $\mathrm{p}_{g^{\eta}}(f{({\cdot})})=\plus\limits_{y\in Y}(g^{\eta}(y)\btimess f(y))$,
$f{({\cdot})}\in{\cal L}(Y)$,
$\mathrm{n}_{\widehat{g}^{\eta}}(\widehat{f}{({\cdot})})
= \mathop{\widehat{\plus}}\limits_{y\in Y}(\widehat{g}^{\eta}(y)\,\widehat{\btimess}\,\widehat{f}(y))$,
$\widehat{f}{({\cdot})}\in\widehat{\cal L}(Y)$.
Нечетким множеством
(нч. м.), определенным на $(Y, \calP(Y), \Poss_{Y},\mathrm{N}_{Y})$,
со значениями в ${\cal P}(X)$, назовем образ $A^{\eta}$ нч. э. $\eta$
при многозначном отображении $A^{\cdot}{\,:}$ $Y\to\calP(X)$.
Одной из основных характеристик $A^{\eta}$ являются его
индикаторные функции одноточечного покрытия (и. ф. о. п.)
$$\begin{aligned}
g^{A^{\eta}}(x)
&\stackrel{\text{def}}{=} \mathrm{P}^{\eta}(x\in A^{\eta})\equiv \mathrm{P}^{\eta}(\eta\in A_{x}),
& g^{A^{\eta}}{({\cdot})} &\in {\cal L}(X),\\
\widehat{g}^{A^{\eta}}(x)
&\stackrel{\text{def}}{=}\mathrm{N}^{\eta}(x\in A^{\eta})\equiv \mathrm{N}^{\eta}(\eta\in A_{x}),
& \widehat{g}^{A^{\eta}}{({\cdot})} &\in \widehat{\cal L}(X),
\end{aligned}
\label{eq_poss_article_16}
$$
определяющие возможность и необходимость покрытия $x\in X$ нч. м.
$A^{\eta}$; в () $A_{\cdot}{\,:}$ $X\to{\cal P}(Y)$,
$A_{x}\stackrel{\text{def}}{=}\{y\in Y,\,x\in A^{y}\}$, ${x\in X,}$ ---
отображение, обратное $A^{y}\!$, ${y\in Y}$ [poss2].
Поскольку $(A\cup B)^{\cdot}=(A^{\cdot}\cup B^{\cdot})$, $(A\cup B)_{\cdot}=(A_{\cdot}\cup B_{\cdot})$,
то, как и для функций принадлежности Заде [zadeh],
$g^{(A\cup B)^{\eta}}(x)=g^{A^{\eta}\cup B^{\eta}}(x)=\mathrm{P}^{\eta}(\eta\in A_{x}\cup B_{x})
= \mathrm{P}^{\eta}(\eta\in A_{x})\plus \mathrm{P}^{\eta}(\eta\in B_{x})=g^{A^{\eta}}(x)\plus g^{B^{\eta}}(x)$, ${x\in X,}$
но $g^{(A\cap B)^{\eta}}(x)=g^{A^{\eta}\cap B^{\eta}}(x)=\mathrm{P}^{\eta}(\eta\,{\in}\, A_{x}\cap B_{x})\leqslant
\mathrm{P}^{\eta}(\eta\in A_{x})\btimess \mathrm{P}^{\eta}(\eta\in B_{x})=g^{A^{\eta}\!}(x)\btimess g^{B^{\eta}\!}(x)$,
${x\in X,}$ в то время как в [zadeh] в этом случае постулируется равенство.
Если $A^{\cdot}\subset B^{\cdot}$, то, как нетрудно убедиться, $g^{A^{\eta}}(x)\leqslant g^{B^{\eta}}(x) $, ${x\in X,}$
но из этих неравенств не следует, что ${A^\cdot\subset B^\cdot}$, как это постулируется в [zadeh,duboisprad].
Наконец, и. ф. о. п. $g^{X\setminus A^{\eta}}{({\cdot})}$ не определяется
и. ф. о. п. $g^{A^{\eta}}{({\cdot})}$, как это постулируется для функций принадлежности
нч. м. $X\setminus A^{\eta}$ и $A^{\eta}$ в [zadeh,duboisprad], где следствием
этого являются, вообще говоря, неравенства $({X\setminus A^\eta})\cup{A^\eta\ne X,}$
$({X\setminus A^\eta})\cap{A^\eta\ne\varnothing}$.
В данном случае, разумеется, $g^{X\setminus A^{\eta}}(x)\plus g^{A^{\eta}}(x)=1$, $x\in X$.
Пусть $A^{\cdot}_i{\,:}$ $Y\rightarrow {\calP}(X_i)$, $i=1,\dots,n$, ---
многозначные отображения, $q_j (\dot){\,:}$ $Y\rightarrow X_{j}'$, $j=1,\dots,m$, ---
функции и для простоты $\Poss^{\eta}(\dot)$ и $\Noss^{\eta}(\dot)$ дуально согласованы;
случай произвольных $\mathrm{P}^{\eta}(\dot)$ и $\mathrm{N}^{\eta}(\dot)$ см. в [poss2].
Нч. м. $A^{\eta}_i$, $i=1,\dots,n$, и нч. э. $\xi_j=q_j(\eta),$ $j=1,\dots,m,$ назовем
$\bullet$ взаимно независимыми, если $\forall\,A_{i}\in
{\calP}(X_{i})$, $i=1,\dots,n$, и $A_{j}' \in {\calP}(X_{j}')$, $j=1,\dots,m$,
$\Poss^{\eta}\bigl(A^{\eta}_{1}\cap A_{1}=\varnothing,$ $A^{\eta}_{1}\ne\varnothing$
& $A^{\eta}_{2}\cap A_{2}\ne\varnothing$ &${}\dots{}$& $A^{\eta}_{n}\cap A_{n}= \varnothing,$
$A^{\eta}_{n}\ne\varnothing$ & $\xi_{1}\in A_{1}'$ &${}\dots{}$& $\xi_{m}\in A_{m}'\bigr)
= \min\bigl\{\Poss^{\eta}\bigl(A^{\eta}_{1}\cap A_{1}=\varnothing,$$A^{\eta}_{1} \ne\varnothing\bigr),$
$\Poss^{\eta}\bigl(A^{\eta}_{2}\cap A_{2}\ne\varnothing\bigr),\dots,\Poss^{\eta}\bigl(A^{\eta}_{n}\cap A_{n}=\varnothing,$
$A^{\eta}_{n}\ne\varnothing\bigr),$ $\Poss^{\eta}(\xi_{1}\in A_{1}'),\dots,\Poss^{\eta}(\xi_{m}\in A_{m}')\bigr\}$
при любых (непротиворечивых) комбинациях <<${=\varnothing}$>>, <<${\ne\varnothing}$>>;
$\bullet$ взаимно независимыми в смысле одноточечного
покрытия, если $\forall\, x_{i}\in X_{i}$, $i=1,2,\dots,n$,
и $x_{j}'\in X_{j}'$, $j=1,\dots,m$,
$$\Poss^{\eta}\bigl(x_{1}\in A^{\eta}_{1}\ \&\ x_2\notin A_2^{\eta}\ \&\ \dots\ \&\ x_{n}\in A^{\eta}_{n}\ \&\ \xi_{1} ={}\\
{ }{}= x_{1}'\ \&\ \dots\ \&\ \xi_{m}=x_{m}'\bigr) ={}\\
{}= \min\bigl\{g^{A_{1}^\eta}(x_{1}),g^{X_{2}\backslash A^{\eta}_{2}}(x_{2}),\dots,g^{A_{n}^{\eta}}(x_{n}), { }\\
g^{\xi_{1}}(x_{1}'),\dots,g^{\xi_{m}}(x_{m}')\bigr\},
\label{eq_ch1_poss_12_3}
$$
или, что в силу дуальной согласованности $\mathrm{P}$
и $\mathrm{N}$ эквивалентно (),
$\mathrm{N}^{\eta}(x_{1}\not \in A_{1}^{\eta}\vee$ $x_{2}\in A_{2}^{\eta}\vee\dots\vee x_{n}\not \in A_{n}^{\eta}\vee$
$\xi_{1}\ne x_{1}'\vee\dots\vee\xi_{m}\ne x_{m}')=\max\bigl\{\widehat{g}^{X_{1}\setminus A_{1}^{\eta}}(x_{1}),$
$\widehat{g}^{A_{2}^{\eta}}(x_{2}),\dots,\widehat{g}^{X_{n}\setminus A_{n}^{\eta}}(x_{n}),$
$\widehat{g}^{\xi_{1}}(x_{1}'),\dots,\widehat{g}^{\xi_{m}}(x_{m}')\bigr\}$,
где $\widehat{g}^{A_{i}^{\eta}}(x_{i})=\mathrm{N}^{\eta}(x_{i}\in A_{i}^{\eta})$,
$\widehat{g}^{\xi_{j}}(x_{j}')=\mathrm{N}^{\eta}(\xi_{j}\ne x_{j}')$, $x_{i}\in X_{i}$, $i=1,\ldots,n$, $x_{j}'\in X_{j}'$,
$j=1,\ldots,m$, для любых комбинаций <<$\in$>> и <<$\notin$>>.
Взаимно независимые нч. м. и нч. э. взаимно независимы
и в смысле одноточечного покрытия.
Если в () только нч. э.,
то () определит взаимную независимость нч. э.
Если $z_{i}({\cdot}){\,:}$ $X_{i}\rightarrow Z_{i},$
$i=1,\dots,n,$ --- произвольные функции и нч. э. $\xi_{i},$
$i=1,\dots,n,$ взаимно независимы, то, как нетрудно проверить,
взаимно независимы и нч. э. $\zeta_{i}=z_i(\xi_i),$ $i=1,\dots,n,$
и $\forall\,z_{i}\in Z_{i},$ $i=1,\dots,n,$
$g^{\zeta_1,\dots,\zeta_n}(z_1,\dots,z_n)=\sup\Bigl\{\min\limits_{1\leqslant j\leqslant n}g^{\xi_j}(x_j)\:|\:x_i\in X_i,$
$z_i(x_i)=z_i,$ $i=1,\dots,n\Bigr\}=\min\limits_{1\leqslant i\leqslant n}\sup\{g^{\xi_i}(x_i)\:|\:x_i\in X_i,$
$z_i (x_i)=z_i\}=\min\limits_{1\leqslant i\leqslant n}g^{\zeta_i}(z_i),$
где $g^{\zeta_i}(z_i)=\sup\{g^{\xi_{i}}(x_{i})\:|\:x_{i}\in X_{i},$ $z_{i}(x_{i})=z_{i}\},$ $z_{i}\in Z_{i},$ $i=1,\dots,n.$
Если нч. э. $\eta_{1},\ldots, \eta_{n}$ взаимно независимы,
то нч. м. $A^{\eta_1}_1,\dots,A^{\eta_n}_n$ взаимно независимы
при любых отображениях $A^{\mbox{$$}}_i{\,:}$ $Y_i\rightarrow {\calP}(X_i)$, ${i=1,\dots,n,}$
и для любой функции $q(\dot){\,:}$ $Y_{i}\rightarrow X_{i}$ и любого отображения
$A^{\mbox{$$}}{\,:}$ $Y_{j}\rightarrow {\calP}(X_{j})$ нч. э.
$\xi = q (\eta_{i})$ и нч. м. $A^{\eta_{i}}$, ${i\ne j,}$
независимы.
В случае произвольных $\mathrm{P}^{\xi}$ и $\mathrm{N}^{\xi}$, если
$g^{\xi}{({\cdot})}{\,:}$ $X\to{\cal L}$, $\widehat{g}^{\xi}{({\cdot})}{\,:}$ $X\to\widehat{\cal L}$ суть
распределения возможностей и необходимостей значений $\xi$, $A^{\cdot}_{}{\,:}$ $Y\to{\cal P}(X)$, нч. м. $A^{\eta}$ и нч. э. $\xi$
независимы в смысле одноточечного покрытия, то возможность и необходимость покрытия нч. э. $\xi$ нч. м. $A^{\eta}$
$$\begin{aligned}
\mathrm{P}^{\xi}(\xi\in A^{\eta}) &= \mathrm{p}_{g^{\xi}}(g^{A^{\eta}}{({\cdot})})=\plus\limits_{x\in X}(g^{\xi}(x)\btimess g^{A^{\eta}}(x)),\\
\mathrm{N}^{\xi}(\xi\in A^{\eta}) &= \mathrm{n}_{\widehat{g}^{\xi}}(\widehat{g}^{A^{\eta}}{({\cdot})})
= \mathop{\widehat{\plus}}\limits_{x\in X}(\widehat{g}^{\xi}(x)\widehat{\btimess} \widehat{g}^{A^{\eta}}(x)).
\end{aligned}
\label{eq_poss_article_16_star}
$$
Вариантом условного (со значениями в шкале ${\cal L}$) распределения возможностей
равенств $\xi^{}_{1}=x^{}_{1}$, $x^{}_{1}\in X^{}_{1}$, при условии $\xi_{2}=x_{2}$,
назовем любое решение $g^{\xi_{1}|\xi_{2}}(x_{1}| x_{2})$ уравнения
$$\label{S:17*}
\min\bigl\{g^{\xi_{1}\mid \xi_{2}}(x_{1}\mid x_{2}),\ g^{\xi_{2}}(x_{2})\bigr\} = g^{\xi_{1},\xi_{2}}(x_{1},x_{2}),\\
x_{1}\in X_{1},\ \ x_{2}\in X_{2},
$$
где
$$\label{S:18*}
g^{\xi_{2}}(x_{2}) = \sup\{g^{\xi^{}_{1},\xi^{}_{2}}(x^{}_{1},x^{}_{2})\mid x^{}_{1}\in X^{}_{1}\},\ \ x^{}_{2}\in X^{}_{2}.
$$
Вариантом условного (со значениями в шкале $\widehat{\cal L}$)
распределения необходимостей неравенств $\xi^{}_{1}\ne x^{}_{1}$, $x^{}_{1}\in X^{}_{1}$,
при условии(\xi_{1},\xi_{2})\ne(x_{1},x_{2})$
\xi_{1}\ne x_{1}$\xi_{2}=x_{2}${\xi_2\ne x_2}$
${\xi_2=x_2}$, назовем любое решение $\widehat{g}^{\,\xi_{1}|\xi_{2}}(x_{1}|x_{2})$ уравнения
$$\widehat{g}^{\,\xi_{1},\xi_{2}}(x_{1},x_{2})= \max\bigl\{\widehat{g}^{\,\xi_{1}|\xi_{2}}(x_{1}\mid x_{2}),\widehat{g}^{\,\xi_{2}}(x_{2})\bigr\},\\
x_{1}\in X_{1},\ \ x_{2}\in X_{2},
\label{S:15e_star}
$$
где
$\widehat{g}^{\,\xi_{2}}(x_{2}) = \inf\{\widehat{g}^{\,\xi^{}_{1},\xi^{}_{2}}(x^{}_{1},x^{}_{2})\mid x^{}_{1}\in X^{}_{1}\}$, $x^{}_{2}\in X^{}_{2}$.
Поскольку в fS:17*, fS:18*
$g^{\xi^{}_{2}}(x^{}_{2})\geqslant
g^{\xi_{1},\xi^{}_{2}}(x_{1},x^{}_{2})$, $x_{1}\in X_{1}$,
$x^{}_{2}\in X^{}_{2},$ уравнение fS:17* разрешимо
относительно $g^{\xi_{1}|\xi^{}_{2}}(x_{1}|x^{}_{2})$.
Любой вариант условного, при условии $\xi^{}_{2} = x^{}_{2}$,
распределения возможностей значений $\xi_1$ можно определить равенством
$$\begin{gathered}
g^{\xi_{1}|\xi^{}_{2}}(x_{1}|x^{}_{2})
= \begin{cases}
g^{\xi_{1},\xi^{}_{2}}(x_{1},x^{}_{2}),\\
~\text{если}\ g^{\xi_{1},\xi^{}_{2}}(x_{1},x^{}_{2}) < g^{\xi^{}_{2}}(x^{}_{2}),\\
f(g^{\xi_{1},\xi^{}_{2}}(x_{1},x^{}_{2})),\\
~\text{если}\ g^{\xi_{1},\xi^{}_{2}}(x_{1},x^{}_{2}) = g^{\xi^{}_{2}}(x^{}_{2}),
\end{cases}\\
x_{1}\in X_{1},\ \ x^{}_{2}\in X^{}_{2},
\end{gathered}\label{S:19*}
$$
где $f({\cdot}){\,:}$ ${\cal L}\to{\cal L}$ --- произвольная функция такая,
что $f(a)\geqslant a$, ${a\in[0,1]}$.
Заметим, однако, что при некоторых $x_{2}\in X_{2}$ среди
вариантов () условного распределения
$g^{\xi_{1}|\xi_{2}}{(\cdot|x_{2})}$ может и не быть
распределения условной возможности, определенной как решение
$\mathrm{P}^{\xi^{}_{1}|\xi^{}_{2}}(\xi^{}_{1}=x^{}_{1}|\xi^{}_{2}=x^{}_{2})$
уравнения $\mathrm{P}^{\xi^{}_{1},\xi^{}_{2}}(\xi^{}_{1}=x^{}_{1},$
$\xi^{}_{2}=x^{}_{2})=\min\{\mathrm{P}^{\xi^{}_{1}|\xi^{}_{2}}(\xi^{}_{1}=x^{}_{1}|\xi^{}_{2}=x^{}_{2}),$
$\mathrm{P}^{\xi^{}_{2}}(\xi^{}_{2}=x^{}_{2})\}$,
в котором $\mathrm{P}^{\xi^{}_{2}}(\xi^{}_{2}=x^{}_{2})
= \sup\limits_{x^{}_{1}\in X^{}_{1}}\mathrm{P}^{\xi^{}_{1},\xi^{}_{2}}(\xi^{}_{1}=x^{}_{1},$$\xi^{}_{2}=x^{}_{2})$.
Действительно, если в fS:18* при некотором
$\overline{x}_{2}\in X_{2}$ точная верхняя грань не достигается,
то $g^{\xi_{1},\xi_{2}}(x_{1},\overline{x}_{2})<g^{\xi_{2}}(\overline{x}_{2})$,
$x_{1}\in X_{1},$ и, следовательно, в fS:17* (см. fS:19*)
$$\min\bigl\{g^{\xi_{1}|\xi_{2}}(x_{1}|\overline{x}_{2}),g^{\xi_{2}}(\overline{x}_{2})\bigr\} ={}\\
{}= g^{\xi_{1}|\xi_{2}}(x_{1}|\overline{x}_{2})=g^{\xi_{1},\xi_{2}}(x_{1},\overline{x}_{2}).
\label{S:20*}
$$
Если при этом $g^{\xi_{2}}(\overline{x}_{2}) < 1$, то, согласно fS:18*, fS:20*,
$\sup\limits_{x_{1}\in X_{1}}g^{\xi_{1}|\xi_{2}}(x_{1}|\overline{x}_{2})=g^{\xi_{2}}(\overline{x}_{2})<1$,
т. е. $g^{\xi_{1}|\xi_{2}}(\cdot|\overline{x}_{2}){\,:}$ $X_{1}\to{\cal L}_{2}$
не есть распределение условной возможности значений нч. э. $\xi_{1}$.
Подобное замечание касается и условного распределения
необходимостей в (). Эта проблема не возникает,
если решение () рассматривать в субъективной
шкале значений возможности, определенной м.-и., в которой событие
$\xi^{}_{2}=x^{}_{2}$ достоверно [pytyevnewsm].
Эти замечания, а также тот факт, что для определения условных
распределений необходимо знать совместные распределения,
объясняют, почему естественнее использовать переходные
возможность, необходимость и их распределения.
Переходной возможностью (необходимостью) для $({X},\OP({X}))$
и $(D,\OP(D))$ называется любое отображение
$\P({\cdot|\cdot}){\,:}$ $\OP({D})\times{X\to{\cal L}}$ ($\mathrm{N}({\cdot|\cdot}){\,:}$ ${\cal P}(D)\times{X\to\widehat{\cal L}})$
такое, что при каждом ${x\in X}$ $\P(\cdot|x){\,:}$ $\OP({D})\rightarrow{\cal L}(\mathrm{N}(\cdot|x){\,:}$ ${\cal P}(D)\to\widehat{\cal L})$
есть возможность (необходимость) на $({D},\OP({D}))$ .
Пусть $\mathrm{P}_{X}{(\dot)}{\,:}$ $\OP(X)\rightarrow{\cal L}$
$(\mathrm{N}_{X}{({\cdot})}{\,:}$ ${\cal P}(X)\to \widehat{\cal L})$ --- возможность (необходимость)
на $(X,\OP(X)),$ $g^{\xi}{(\dot)}{\,:}$ ${X\rightarrow{\cal L}}$ $(\widehat{g}^{\xi}{(\dot)}{\,:}$ ${X\rightarrow\widehat{\cal L}})$ ---
ее распределение и $\pp{(\cdot|x)}{\,:}$ ${D\rightarrow{\cal L}}$
$(\widehat{\pi}^{\delta|\xi}{(\cdot|x)}{\,:}$ ${D}\rightarrow\widehat{\cal L})$ ---
распределение переходной возможности $\P{(\cdot|x)}{\,:}$ $\OP({D})\rightarrow{\cal L}$
(переходной необходимости $\mathrm{N}{(\cdot|x)}{\,:}$ $\OP({D})\rightarrow\widehat{\cal L}$), ${x\in X.}$
Тогда $g^{\xi,\delta}(x,d)=\min\{\pp(d|x),g^{\xi}(x)\}$
$(\widehat{g}^{\xi,\delta}(x,d)=\max\{\widehat{\pi}^{\delta|\xi}(d|x),\widehat{g}^{\xi}(x)\}),$
$x\in X,$ $d\in{D},$ --- распределение возможности
$\mathrm{P}(\dot){\,:}$ $\OP(X\times{D})\rightarrow{\cal L},$
$\mathrm{P}(C)=\sup_{(x,d)\in C}g^{\xi,\delta}(x,d)$
(необходимости $\mathrm{N}{(\dot)}{\,:}$ $\OP(X\times{D})\rightarrow\widehat{\cal L}$,
$\mathrm{N}(C)=\!\!\inf\limits_{(x,d)\in (X\times D)\setminus
C}\widehat{g}^{\xi,\delta}(x,d)$), $C\in\OP(X\times D).$
Первые публикации по п. 4 --- [B11,N23]. Нч. э. вводится так же,
как, например, в [cooman1]. Автору неизвестны публикации, в которых нч. м.
определяется [N26] как многозначное отображение,
и публикации, в которых рассматриваются связи между
$\mathrm{p}$-, $\mathrm{n}$ и математическим
ожиданием.
Заключение
В статье показаны принципиальные трудности, свойственные как
интерпретации событийно наблюдений за эволюционирующим
стохастическим объектом (Э. СТ. О.), так и эмпирическому
восстановлению его вероятностной модели. В качестве альтернативной
модели вероятностной случайности, ориентированной на их
преодоление, предложена возможность как мера относительной
предопределенности результатов событийно наблюдений
за Э. СТ. О.
Рассмотрены свойства возможности, позволившие интерпретировать
событийно наблюдения за Э. СТ. О. и эмпирически
восстанавливать нечеткую модель класса Э. СТ. О.,
нечетко эквивалентные вероятностные модели которых не могут быть
восстановлены эмпирически, решать задачи, типичные для приложений
теории вероятностей, моделировать как вероятностную, так
и невероятностную случайности, свойственные реальным физическим,
техническим, социальным системам и т. п.
В отличие от вероятностной модели $(\Omega,{\cal P}(\Omega),
\mathrm{Pr})$Э. СТ. О., произвольно эволюционирующей в пределах
класса нечетко эквивалентных моделей, его единственная с точностью
до эквивалентности нечеткая модель $(\Omega,{\cal P}(\Omega), \mathrm{P},\mathrm{N})$
позволяет решать все задачи для любого Э. СТ. О., вероятностная модель которого
эволюционирует в пределах класса нечетко эквивалентных, которые
вероятностными методами можно решить для неэволюционирующего СТ. О.
Методы решения прикладных задач, рассмотреные в статье
<<Математическое моделирование феноменов случайности и нечеткости
в научных исследованиях. 2. Приложения>>, основаны
на представленной в данной статье теории мер возможности $\mathrm{P}$,
необходимости $\mathrm{N}$ и $\mathrm{p}$-, $\mathrm{n}$-интегралов
и их связях с вероятностью $\mathrm{Pr}$ и с математическим ожиданием соответственно.
Автор выражает благодарность Ю. М. Нагорному и Д. А. Балакину
за обсуждение и за помощь при подготовке электронного варианта статьи.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 08-07-00133a, 11-07-00722, 14-07-00441).
- Choquet G. // Ann. Inst. Fourier. 1953/1954. 5. P. 131.
- Zadeh A. // Information and Control. 1965. 8. P. 235.
- Dempster A.P. // Ann. Math. Statist. 1967. 38. P. 325.
- Dempster A.P. // J. Roy Statist. Soc. 1968. B30. P. 205.
- Savage L.J. The Foundations of Statistics, Dover. N. Y., 1972.
- Sugeno M. The Theory of Fuzzy Integrals and Its Applications: Ph.D. Thesis. Tokyo Institute of Technology. Tokyo, 1974.
- Shafer G. A mathematical theory of evidence. Princeton; N. J.: Princeton University Press, 1976.
- Zadeh L.A. // Fuzzy Sets and Systems. 1978. P. 3.
- Орловский С.А. Проблемы принятия решения при нечеткой исходной информации. М.: Наука, 1981.
- Fuzzy Sets and Possibility Theory. Recent Developments / Ed, by P. P. Yager. N. Y., Oxford, Toronto: Pergamon Press, 1982.
- Нечеткие множества в моделях управления и искуственного интелекта / Под ред. Д. А. Поспелова. М.: Наука, 1986.
- Dubois D., Prade H. Theorie des Possibilites. Paris; Milano; Barcelona; Mexico: Masson, 1988.
( Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. М.: Радио и связь, 1990.)
- Pyt'ev Yu.P. // Pattern Recognition and Image Analysis. 1994. 4, N 2. P. 177.
- Pyt’ev Yu.P. // Pattern Recognition and Image Analysis. 1995. 5, N 1. P. 13.
- de Cooman G., Kerre E.E. // Fuzzy Sets and Systems. 1996. 77, N 2. P. 207.
- de Cooman G. // Int. J. of General Systems. 1997. 25. P. 291.
- de Cooman G. // Int. J. of General Systems. 1997. 25. P. 325.
- de Cooman G. // Int. J. of General Systems. 1997. 25. P. 353.
- Pyt’ev Yu.P. // Pattern Recognition and Image Analysis: Advances in Mathematical Theory and Applications. 1997. 7, N 3. P. 338.
- Dubois D., Prade H. Possibility theory: qualitative and quantitative aspects / Quantified Representation of Uncertainty and Imprecision / Ed. by D. M. Gabbay, P. Smets. Kluwer Academic Publishers, 1998. V. 1 of Handbook of Defeasible Reasoning and Uncertainty Management Systems. P. 169.
- Wolkenhauer O. Possibility Theory with Applications to Data Analysis. Research Studies Press, 1998.
- Кнедзи А., Дзюндзо В., Сокукэ И. и др. Прикладные нечеткие системы / Под ред. Т. Тэрано, К. Асаи, М. Сугэно. М.: Мир, 1993.
- Pyt’ev Yu.P. // Pattern Recognition and Image Analysis: Advances in Mathematical Theory and Applications. 1998. 8, N 1. P. 1.
- Pyt’ev Yu.P. // Pattern Recognition and Image Analysis. 1999. 9, N 3. P. 416.
- Dubois D., Nguyen H. T., Prade H. Possibility Theory, Probability and Fuzzy Sets: Misunderstandings, Bridges and Gaps / Fundamental of Fuzzy Sets / Ed. by D. Dubois, H. Prade. Kluwer Academic Publishers, Boston, 2000. P. 343.
- Pyt’ev Yu.P. // Pattern Recognition and Image Analysis. 2000. 10, N 1. P. 43.
- Pyt’ev Yu.P. // Pattern Recognition and Image Analysis. 2000. 10, N 4. P. 447.
- Пытьев Ю.П. Возможность. Элементы теории и применения. М.: Эдиториал УРСС, 2000.
- Dubois D., Prade H., Sandri S. On Possibility/Probability Transformation // Proceedings of Fourth IFSA Conference. --- Kluwer Academic Publ., 1993. P. 103.
- D'yakonova I.V., Matveeva T.V., Pyt'ev Yu.P. // Pattern Recognition and Image Analysis. 11, N 4. 2001. P. 711.
- Пытьев Ю.П. // Интеллектуальные системы. 2001. 6, С. 25.
- Pyt'ev Yu.P. // Pattern Recognition and Image Analysis. 2002. 12, N 2. P. 107.
- Pyt’ev Yu.P., Zhuchko O.V. // Pattern Recognition and Image Analysis. 2002. 12, N 2. P. 116.
- Matveeva T.V., Pyt'ev Yu.P. // Pattern Recognition and Image Analysis. 2002. 12, N 3. P. 316.
- Pyt'ev Yu.P. // Pattern Recognition and Image Analysis. 2002. 12, N 4. P. 376.
- Пытьев Ю.П., Мазаева И.В. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2002. С. 20.
- Pyt’ev Yu.P., Zhivotnikov G.S. // Pattern Recognition and Image Analysis. 2004. 14, N 1. P. 60.
- Pyt'ev Yu.P. // Pattern Recognition and Image Analysis. 2004. 14, N 4. P. 529.
- Пытьев Ю.П. // Интеллектуальные системы. 2004. 8, вып. 1--4. С. 147.
- Pyt’ev Yu.P. // Pattern Recognition and Image Analysis. 2004. 14, N 4. P. 541.
- Pyt'ev Yu.P. // Pattern Recognition and Image Analysis. 2006. 16, N 3. P. 1.
- Dubois D. // Computational Statistics and Data Analysis. 2006. 51. P. 47.
- De Campos G., Huete J.F. // Int. J. Gen. Syst. 2001. 30, N 3. P. 309.
- Masson M., Denoeux T. // Fuzzy Sets and Systems. 2006. 157. P. 319.
- Пытьев Ю.П. // Интеллектуальные системы. 2007. 11, С. 277.
- Dubois D., Prade H. Formal representations of uncertainty // Decision-Making Process / Ed. by D. Bouyssou, D. Dubois, M. Pirlot, H. Prade. L.: Wiley-ISTE, 2009.
- Папилин С.С., Пытьев Ю.П. // Математическое моделирование. 2010. 22, С. 144.
- Papilin S.S., Pyt’ev Yu.P. // Mathematical Models and Computer Simulation. 2011. 3, issue 4. P. 528.
- Yager R.R. // IEEE Transactions on Fuzzy Systems. 2012. February. 20, N 1. P. 46.
- Yager R.R. // IEEE Transactions on Fuzzy Systems. 2012. June. 20, N 3. P. 526.
- Пытьев Ю.П. Возможность как альтернатива вероятности. М.: Физматлит, 2007; 2-е изд., перераб. и доп., 2016.
- Пытьев Ю.П. // Математическое моделирование. 2013. 25, С. 102.
- Pyt'ev Yu. // Mathematical Modeling and Computer Simulations. 2013. 5, N 6. P. 538.
- Кашьяп Р.Л., Рао А.Р. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным. М.: Наука, 1983.
- Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. М.: Физматлит, 1985.
- Пытьев Ю.П. // Автоматика и телемеханика. 2010. С. 131.
- George J.K. Uncertainty and Information: Foundations of Generalized Information Theory. Hoboken, N. J.: John Wiley, 2006.
- Hoeffding W. // J. Amer. Statist. Assoc. 1963. 58, N 301. P. 213.
- Пытьев Ю. П. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем. М.: Наука, 2002.
Изд. 3-е, перераб. и доп. М.: Физматлит, 2011.
- Хьюбер Дж.П. Робастность в статистике. 1984. М.: Мир.
- Орлов А.И. Прикладная статистика. М.: Экзамен, 2004.
- Новые направления в обработке данных. studopedia.ru
- Пытьев Ю.П. // Матем. сб. 1983. 118 (160), (5). С. 19.
- Демьянов В.Ф., Малозёмов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.
- Пытьев Ю.П. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1997. С. 3.
(Pyt'ev Yu.P. // Moscow Univ. Phys. Bull. 1997. 52. N 3. P. 1.)
- Пытьев Ю.П. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1997. С. 3.
- Пытьев Ю.П. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1997. С. 3.
- Пытьев Ю.П. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1998. C. 3.
(Pyt'ev Yu.P. // Moscow Univ. Phys. Bull. 1998. N 1. P. 1.)
- Пытьев Ю.П. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1998. С. 3.
(Pyt'ev Yu.P. // Moscow Univ. Phys. Bull. 1998. N 2. P. 1.)
- Пытьев Ю.П. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1999. С. 3.
(Pyt'ev Yu.P. // Moscow Univ. Phys. Bull. 1999. 54, N 5. P. 1.)
- Пытьев Ю.П. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1999. С. 3.
(Pyt'ev Yu.P. // Moscow Univ. Phys. Bull. 1999. 54, N 6. P. 1.)
- Пытьев Ю.П. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1998. С. 3.
(Pyt'ev Yu.P. // Moscow Univ. Phys. Bull. 1998. N 6. P. 1.)
- Пытьев Ю.П. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1999. С. 3.
(Pyt'ev Yu.P. // Moscow Univ. Phys. Bull. 1999. 54, N 1. P. 1.)
- De Cooman G., Aeyels D. // IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics. 2000. 30. P. 124.
- Nguyen H.T., Bouchon-Meunier B. // Soft Computting. 2003. 8. P. 61.
- Pyt'ev Yu.P., Mazaeva I.V. // Moscow Univ. Phys. Bull. 2002. 57, N. 5. P. 27.
- Пытьев Ю.П. Математические методы субъективного моделирования в научных исследованиях. 1. Математические и эмпирические основы // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. (подготовлена к публикации).
- Pyt'ev Yu.P. // Automation and Remote Control. 71, N 3. P. 486.
Mathematical modeling of randomness and fuzziness phenomena in scientific studies.
I. Mathematical and empirical foundations
Yu. P. Pyt'ev
Department of Mathematical Modelling and Informatics, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University,
Moscow 119991, Russia.
E-mail: yuri.pytyev@physics.msu.ru, yuri.pytyev@gmail.com.
The possibility theory as a mathematical model of randomness and fuzziness phenomena is considered
in a variant that enables the modeling of both probabilistic randomness, including that inherent in
unpredictably evolving stochastic objects whose probabilistic models cannot be empirically reconstructed
and nonprobabilistic randomness (fuzziness) inherent in real physical, technical, and economical objects,
human–machine and expert systems, etc. Some principal distinctions between the considered variant and the
known possibility theory variants, in particular, in mathematical formalism and its relationship with probability
theory, substantive interpretation, and applications exemplified by solving the problems of identification
and estimation optimization, empirical reconstruction of a fuzzy model for a studied object, measurement
data analysis and interpretation, etc. (in the paper “Mathematical Modeling of Randomness and Fuzziness
Phenomena in Scientific Studies. II. Applications”) are shown.
Keywords: probability, randomness, possibility, necessity, fuzziness.
PACS: 07.05.Kf.
Received 22 June 2016.
English version:
Moscow University Physics Bulletin. 72, No. Pp.
\
footnotesize
Сведения об авторе
Пытьев Юрий Петрович --- доктор физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой;
тел.: (495) 939-13-32, e-mail: yuri.pytyev@physics.msu.ru, yuri.pytyev@gmail.com.
#1
#1
[section]
[section]
[section]
[section]
[section]
[1][.]
О п р е д е л е н и е #1
[1][.]
Т е о р е м а #1
[1][.]
Л е м м а #1
[1][]
С л е д с т в и е #1
[1][.]
З а м е ч а н и е #1