О зависимости потенциала от характеристик дискретного спектра в квантовой механике

С помощью общего решения обратной задачи о восстановлении удерживающего потенциала $(\tilde{V}(r) \to \infty, r \to \infty$) по опорному потенциалу $V(r)$, уровням энергии и нормировочным постоянным проведен анализ поведения поправок к потенциалу $\Delta V(r)$ и регулярных решений радиального уравнения Шредингера при изменении конечного числа спектральных характеристик. При $r \to 0$ при любых изменениях спектра $\Delta V(r) \sim r^{2l+1}$ ($l$ — орбитальный момент), а при $r \to \infty$ асимптотики $\Delta V(r)$ классифицируются тремя различными способами изменения спектральных характеристик. Показано, что в случае включения (выключения) дополнительных уровней энергии асимптотика $\Delta V(r)$ взаимно-однозначно связана с периодом радиальных колебаний классического движения в поле $V(r)$. Все результаты переносятся на случай дальнодействующих притягивающих потенциалов $\lim_{r\to\infty} = 0$, $\lim_{r\to\infty} r^2V(r = \infty)$ при условии сохранения спектральной плотности непрерывного спектра.